《第1章 導數及其應用》2010年單元測試卷（2）

一、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）

• 1．直線y=a與函數y=x³-3x的圖象有相異三個交點，則a的取值范圍是（　　）

  A．（-2，2）

  B．（-2，0）

  C．（0，2）

  D．（2，+∞）
  組卷：94引用：9難度：0.9

  解析

• 2．函數f（x）=x³+ax²-3x-9，已知f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，則x₁?x₂=（　?。?/h2>

  A．9

  B．-9

  C．1

  D．-1
  組卷：333難度：0.7

  解析

• 3．已知函數f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率為3，數列{

  1

  f

  （

  n

  ）

  }的前n項和為S_n，則S₂₀₁₁的值為（　　）

  A． 2011 2012

  B． 2008 2009

  C． 2009 2010

  D． 2010 2011
  組卷：371引用：14難度：0.7

  解析

• 4．已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導函數，且f（x）＜f′（x）對于x∈R恒成立，則（　?。?/h2>

  A．f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）

  B．f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）

  C．f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）

  D．f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）
  組卷：311難度：0.9

  解析

二、填空題（共2小題，每小題4分，滿分8分）

• 5．已知二次函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  x

  2

  +

  （

  a

  2

  +

  2

  ）

  x

  -

  1

  4

  在x=2處的切線斜率為2，則該函數的最大值為

  ．
  組卷：22引用：1難度：0.9

  解析

• 6．已知點P在曲線

  y

  =

  1

  3

  x

  3

  -

  x

  +

  2

  3

  上移動，若經過點P的曲線的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是

  ．
  組卷：246引用：3難度：0.7

  解析

三、解答題（共19小題，滿分0分）

• 7．某工藝品廠要生產如圖所示的一種工藝品，該工藝品由一個圓柱和一個半球組成，要求半球的半徑和圓柱的底面半徑之比為3：2，工藝品的體積為34πcm³．設圓柱的底面直徑為4x（cm），工藝品的表面積為S（cm²）．
  （1）試寫出S關于x的函數關系式；
  （2）怎樣設計才能使工藝品的表面積最小？
  組卷：43難度：0.5

  解析

• 8．設函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  a

  x

  -

  2

  x

  +

  2

  ，

  x

  ∈

  [

  m

  ,

  n

  ]

  是單調減函數，值域為[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
  （1）求實數a的取值范圍；
  （2）求證：2＜m＜4＜n；
  （3）若函數

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  +

  lo

  g

  a

  （

  x

  -

  1

  ）

  -

  lo

  g

  a

  x

  -

  2

  x

  +

  2

  ，

  x

  ∈

  [

  m

  ,

  n

  ]

  的最大值為A，求證：0＜A＜1．
  組卷：314難度：0.5

  解析

三、解答題（共19小題，滿分0分）

• 24．已知f（x）=xlnx,g（x）=x³+ax²-x+2
  （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
  （Ⅱ）求函數f（x）在[t,t+2]（t＞0）上的最小值；
  （Ⅲ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．
  組卷：760引用：31難度：0.1

  解析

• 25．三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，直線BD∥AC，且直線BD與函數圖象切于點B，交于點D，直線AC與函數圖象切于點C，交于點A．
  （1）在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b,并求f（x）的單調區間；
  （2）設點A、B、C、D的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，求證：（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．
  組卷：18引用：4難度：0.5

  解析