2022-2023學年湖南省長沙市寧鄉市高二（上）期末數學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40分，在每小題給出得四個選項中，只有一個是符合題目要求的)

• 1．如圖，空間四邊形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，點M為OA的中點，點N在線段BC上，且CN=2NB，則

  MN

  =（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b - 1 3 c	B． - 1 3 a + 1 2 b + 2 3 c
  C． 2 3 a - 1 2 b + 1 3 c	D． - 1 2 a + 2 3 b + 1 3 c
  組卷：899引用：10難度：0.7

  解析

• 2．已知圓x²+y²+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4，則實數a的值是（　　）

  A．-2

  B．-4

  C．-6

  D．-8
  組卷：10256引用：79難度：0.9

  解析

• 3．已知在一個二面角的棱上有兩個點A、B，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱AB，AB=5，AC=3，BD=4，

  CD

  =

  5

  2

  ，則這個二面角的度數為（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．90°

  D．150°
  組卷：382引用：10難度：0.4

  解析

• 4．已知方程

  x

  2

  5

  -

  m

  +

  y

  2

  m

  -

  2

  =

  1

  表示焦點在y軸上的橢圓，且焦距為2，則m的值為（　　）

  A．4

  B．5

  C．7

  D．8
  組卷：521引用：3難度：0.8

  解析

• 5．若數列{

  2

  a

  n

  +

  1

  }是等差數列，a₁=1，a₃=-

  1

  3

  ，則a₅=（　　）

  A．- 7 9

  B． 7 9

  C． 3 5

  D．- 3 5
  組卷：211引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知拋物線y²=16x的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓C：（x-6）²+（y-2）²=4上，則|PQ|+|PF|的最小值為（　　）

  A．4

  B．6

  C．8

  D．10
  組卷：340引用：7難度：0.6

  解析

• 7．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  x

  ，若

  f

  ′

  （

  x

  0

  ）

  =

  e

  2

  4

  ，則x₀=（　　）

  A． 1 2

  B．2

  C． 1 e

  D．e
  組卷：476引用：2難度：0.7

  解析

四、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知橢圓C：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的上下兩個焦點分別為F₁，F₂，過點F₁與y軸垂直的直線交橢圓C于M、N兩點，△MNF₂的面積為

  3

  ，橢圓C的長軸長是短軸長的2倍．
  （1）求橢圓C的標準方程；
  （2）已知O為坐標原點，直線l：y=kx+m與y軸交于點P，與橢圓C交于A、B兩個不同的點，若存在實數λ，使得

  OP

  =

  1

  4

  OA

  +

  λ

  4

  OB

  ，求m的取值范圍．
  組卷：193引用：2難度：0.5

  解析

• 22．已知函數f（x）=lnx-

  1

  2

  mx-1，m∈R．
  （1）若該函數在x=1處的切線與直線2x+y+1=0垂直，求m的值；
  （2）若函數g（x）=xf（x）在其定義域上有兩個極值點x₁，x₂．
  ①求m的取值范圍；
  ②證明：x₁x₂＞e²．
  組卷：234引用：3難度：0.4

  解析