2022-2023學年湖南省長沙一中高三（下）月考數學試卷（八）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

• 1．已知集合A={x|x²＜2x}，集合B={x|log₂（x-1）＜1}，則A∩B=（　　）

  A．{x|0＜x＜3}

  B．{x|1＜x＜2}

  C．{x|2≤x＜3}

  D．{x|0＜x＜2}
  組卷：116引用：5難度：0.8

  解析

• 2．在復平面內，復數z與

  2

  1

  -

  i

  對應的點關于虛軸對稱，則z等于（　　）

  A．1+i

  B．-1-i

  C．1-i

  D．-1+i
  組卷：95引用：5難度：0.8

  解析

• 3．若雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  9

  -

  y

  2

  b

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  的一條漸近線與x軸的夾角是

  π

  3

  ，則C的虛軸長是（　　）

  A． 6 3

  B． 3 3

  C．2

  D． 2 3 3
  組卷：19引用：3難度：0.7

  解析

• 4．若（1+x）（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+?+a₈x⁸．則a₁+a₃+a₅+a₇的值是（　　）

  A．-1

  B．-2

  C．2

  D．1
  組卷：95引用：1難度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（　　）

  A．充分非必要條件	B．必要非充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：664引用：3難度：0.9

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• 6．長沙烈士公園西南小丘上興建了烈士紀念塔，紀念為人民解放事業犧牲的湖南革命烈士，它是公園的標志．為了測量紀念塔的實際高度，某同學設計了如下測量方案：在烈士紀念塔底座平面的A點位置測得紀念塔頂端仰角的正切值為

  3

  2

  ，然后直線走了20m,抵達紀念塔底座平面B點位置測得紀念塔頂端的仰角為

  π

  3

  ．已知該同學沿直線行進的方向與他第一次望向烈士紀念塔底端的方向所成角為

  π

  3

  ，則該烈士紀念塔的高度約為（　　）

  A．30m

  B．45m

  C．60m

  D．75m
  組卷：17引用：2難度：0.7

  解析

• 7．已知點P（2，2），直線AB與拋物線C：y²=2x交于A、B兩點，且直線PA，PB的傾斜角互補，則直線AB的斜率為（　　）

  A． - 1 4

  B． - 1 2

  C．-1

  D．-2
  組卷：66引用：2難度：0.6

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四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

• 21．已知f（x）=e^x-tx,x∈R．
  （1）函數f（x）有且僅有一個零點，求t的取值范圍．
  （2）當t=1時，證明：?ξ∈（a,b）（其中a＞0），使得

  f

  （

  b

  ）

  -

  f

  （

  a

  ）

  b

  -

  a

  =

  e

  ξ

  -

  1

  ．
  組卷：52引用：3難度：0.6

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• 22．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖，從橢圓的一個焦點出發的光線或聲波，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，其中法線l'表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點為F₁（-c,0），F₂（c,0）（c＞0），若由F₁發出的光線經橢圓兩次反射后回到F₁經過的路程為8c.對于橢圓C上除頂點外的任意一點P，橢圓在點P處的切線為l,F₁在l上的射影為H，其中

  |

  OH

  |

  =

  2

  2

  ．
  
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）如圖，過F₂作斜率為k（k＞0）的直線m與橢圓C相交于A，B兩點（點A在x軸上方）．點M，N是橢圓上異于A，B的兩點，MF₂，NF₂分別平分∠AMB和∠ANB，若△MF₂N外接圓的面積為

  81

  π

  8

  ，求直線m的方程．
  組卷：93引用：2難度：0.5

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