2023年重慶八中自主招生數學試卷

一、填空題

• 1．已知a：b=5：3，b：c=6：7，則a：b：c=

  ．
  組卷：565引用：5難度：0.5

  解析

• 2．已知線段AB=15cm,點C為直線AB上一點，且AC=7cm,點D為線段BC的中點，則線段AD的長為

  ．
  組卷：440引用：4難度：0.5

  解析

• 3．已知n個自然數之積是2007，這n個自然數之和也是2007，那么n的值最大是

  ．
  組卷：274引用：6難度：0.7

  解析

• 4．甲、乙兩筐蘋果各有若干千克，從甲筐拿出20%到乙筐后，又從乙筐拿出25%到甲筐，這時甲、乙兩筐蘋果的質量相等，則原來乙筐的蘋果質量是甲筐的

  %．
  組卷：206引用：2難度：0.7

  解析

• 5．如圖，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．若∠MON=48°，∠BOC=14°，則∠AOD=

  ．
  組卷：344引用：4難度：0.7

  解析

• 6．如圖，一個瓶子的容積為1升，瓶內裝著一些溶液，當瓶子正放時，瓶內溶液的高度為20cm,倒放時，空余部分的高度為5cm.瓶內溶液的體積為

  升．
  組卷：515引用：4難度：0.6

  解析

• 7．為了慶祝中共二十大勝利召開，某初中舉行了以“二十大知多少”為主題的知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分．若某參賽同學有1道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學一共答對了

  道題．
  組卷：616引用：8難度：0.7

  解析

• 8．《算法統宗》中記有“李白沽酒”的故事．詩云：今攜一壺酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店飲半斗．相逢三處店，飲盡壺中酒．試問能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）
  大意是：李白在郊外春游時，做出這樣一條約定：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．則李白的酒壺中原有

  升酒．
  組卷：1487引用：12難度：0.5

  解析

二、解答題

• 23．如果一個三位數的十位數字等于它的百位和個位數字的差的絕對值，那么稱這個三位數為“絕對數”，如：三位數312，∵1=|3-2|，∴312是“絕對數”，把一個絕對數m的任意一個數位上的數字去掉，得到三個兩位數，這三個兩位數之和記為F（m），把m的百位數字的3倍，十位數字的兩倍和個位數字之和記為G（m）．
  如：F（312）=31+32+12=75，G（312）=3×3+2×1+2=13．
  （1）請問257是不是“絕對數”，如果是，請求出F（257），G（257）的值；
  （2）若三位數A是“絕對數”，且F（A）-2G（A）是完全平方數，請求出所有符合條件的A．
  組卷：688引用：5難度：0.3

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• 24．在初中數學學習階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．
  材料一：在解決某些分式問題時，倒數法是常用的變形技巧之一，所謂倒數法，即把式子變成其倒數形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．
  例：已知：

  x

  x

  2

  +

  1

  =

  1

  4

  ，求代數式x²+

  1

  x

  2

  的值．
  解：∵

  x

  x

  2

  +

  1

  =

  1

  4

  ，∴

  x

  2

  +

  1

  x

  =4即

  x

  2

  x

  +

  1

  x

  =4
  ∴x+

  1

  x

  =4∴x²+

  1

  x

  2

  =

  （

  x

  +

  1

  x

  ）

  2

  -2=16-2=14
  材料二：在解決某些連等式問題時，通常可以引入參數“k”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當變形解決問題．
  例：若2x=3y=4z,且xyz≠0，求

  x

  y

  +

  z

  的值．
  解：令2x=3y=4z=k（k≠0）則x=

  k

  2

  ，y=

  k

  3

  ，z=

  k

  4

  ，∴

  x

  y

  +

  z

  =

  1

  2

  k

  1

  3

  k

  +

  1

  4

  k

  =

  1

  2

  7

  12

  =

  6

  7

  
  根據材料回答問題：
  （1）已知

  x

  x

  2

  -

  x

  +

  1

  =

  1

  5

  ，求x+

  1

  x

  的值．
  （2）已知

  a

  5

  =

  b

  4

  =

  c

  3

  （abc≠0），求

  3

  b

  +

  4

  c

  2

  a

  的值．
  （3）若

  yz

  bz

  +

  cy

  =

  zx

  cx

  +

  az

  =

  xy

  ay

  +

  bx

  =

  x

  2

  +

  y

  2

  +

  z

  2

  a

  2

  +

  b

  2

  +

  c

  2

  ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc=5，求xyz的值．
  組卷：2213引用：4難度：0.4

  解析