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2023-2024學年湖北省黃岡市黃梅縣國際育才高級中學高二（上）開學數學試卷

發布：2024/8/11 15:0:5

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1．設
e
1
，
e
1
是兩個不共線的向量，且
a
=
e
1
+λ
e
2
與
b
=-
1
3
e
2
-
e
1
共線，則實數λ=（　　）
A．-1 B．3 C．-
1
3
D．
1
3
組卷：420引用：4難度：0.9
解析
2．若a²+b²=c²，則a,b,c三個數稱之為勾股數，從3，4，12，13中任取兩個，能和5組成勾股數的概率是（　　）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
2
組卷：75引用：3難度：0.7
解析
3．甲、乙、丙三人獨立解決同一道數學題，如果三人分別完成的概率依次是p₁、p₂、p₃，那么至少有一人解決這道題的概率是（　　）
A．p₁+p₂+p₃ B．1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）
C．1-p₁p₂p₃ D．p₁p₂p₃
組卷：45引用：5難度：0.9
解析
4．已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=3，|
b
|=1，且（2
a
-9
b
）⊥
a
，則2
a
-9
b
與
b
的夾角的余弦值為（　　）
A．-
5
3
B．-
5
9
C．
2
3
D．
5
9
組卷：375引用：5難度：0.7
解析
5．若A、B為一對對立事件，其概率分別為P（A）=
4
x
，P（B）=
1
y
，則x+y的最小值為（　　）
A．9 B．10 C．6 D．8
組卷：79引用：9難度：0.7
解析
6．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若
PA
=
a
，
PB
=
b
，
PC
=
c
，則
BE
=（　　）
A．
1
2
a
+
3
2
b
+
1
2
c
B．
1
2
a
-
1
2
b
-
1
2
c
C．
1
2
a
-
3
2
b
+
1
2
c
D．
1
2
a
+
3
2
b
-
1
2
c
組卷：363引用：8難度：0.5
解析
7．在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=3，∠BAD=
π
2
，∠BAA₁=∠A₁AD=
π
3
，
CM
=
2
M
C
1
，則AM的長為（　　）
A．2
6
B．
42
C．2
13
D．2
11
組卷：61引用：3難度：0.5
解析

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四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

21．某市工會組織舉行“紅心向黨”職工歌詠比賽，分初賽、復賽和決賽三個環節，初賽全市職工踴躍參與，通過各單位的初選，最終有2000名選手進入復賽，經統計，其年齡的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求直方圖中x的值，并估計復賽選手年齡的平均值（同一組中的數據用該區間的中點值作代表，結果保留一位小數）；
（2）根據頻率分布直方圖估計復賽選手年齡的第75百分位數；
（3）決賽由8名專業評審、10名媒體評審和12名大眾評審分別打分，打分均采用10分制．已知某選手專業得分的平均數和方差分別為
x
1
=8.4，
S
2
1
=0.015，媒體得分的平均數和方差分別為
x
2
=8.8，
S
2
2
=0.054，大眾得分的平均數和方差分別為
x
3
=9.4，
S
2
3
=0.064，將這30名評審的平均分作為最終得分，請估計該選手的最終得分和方差（結果保留三位小數）．
附：方差S²=
1
n
n
∑
i
=
1
（x_i-
x
）²=
1
n
n
∑
i
=
1
x
2
i
-
x
²．
組卷：95引用：4難度：0.8
解析
22．如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別在棱AA₁，CC₁上，且A₁M=
1
3
AA₁，CN=
1
3
CC₁，且∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB=60°．
（Ⅰ）用向量
A
A
1
，
AD
，
AB
表示向量
MN
；
（Ⅱ）求證：D，M，B₁，N共面；
（Ⅲ）當
A
A
1
AB
為何值時，AC₁⊥A₁B．
組卷：250引用：7難度：0.6
解析

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A．p₁+p₂+p₃	B．1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）
C．1-p₁p₂p₃	D．p₁p₂p₃

A． 1 2 a + 3 2 b + 1 2 c	B． 1 2 a - 1 2 b - 1 2 c
C． 1 2 a - 3 2 b + 1 2 c	D． 1 2 a + 3 2 b - 1 2 c

2023-2024學年湖北省黃岡市黃梅縣國際育才高級中學高二（上）開學數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1．設e1，e1是兩個不共線的向量，且a=e1+λe2與b=-13e2-e1共線，則實數λ=（ ）

2．若a2+b2=c2，則a,b,c三個數稱之為勾股數，從3，4，12，13中任取兩個，能和5組成勾股數的概率是（ ）

3．甲、乙、丙三人獨立解決同一道數學題，如果三人分別完成的概率依次是p1、p2、p3，那么至少有一人解決這道題的概率是（ ）

4．已知向量a，b滿足|a|=3，|b|=1，且（2a-9b）⊥a，則2a-9b與b的夾角的余弦值為（ ）

5．若A、B為一對對立事件，其概率分別為P（A）=4x，P（B）=1y，則x+y的最小值為（ ）

6．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若PA=a，PB=b，PC=c，則BE=（ ）

7．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，∠BAD=π2，∠BAA1=∠A1AD=π3，CM=2MC1，則AM的長為（ ）

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

22．如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別在棱AA1，CC1上，且A1M=13AA1，CN=13CC1，且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°．（Ⅰ）用向量AA1，AD，AB表示向量MN；（Ⅱ）求證：D，M，B1，N共面；（Ⅲ）當AA1AB為何值時，AC1⊥A1B．

1．設
e
1
，
e
1
是兩個不共線的向量，且
a
=
e
1
+λ
e
2
與
b
=-
1
3
e
2
-
e
1
共線，則實數λ=（　　）

2．若a²+b²=c²，則a,b,c三個數稱之為勾股數，從3，4，12，13中任取兩個，能和5組成勾股數的概率是（　　）

3．甲、乙、丙三人獨立解決同一道數學題，如果三人分別完成的概率依次是p₁、p₂、p₃，那么至少有一人解決這道題的概率是（　　）

4．已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=3，|
b
|=1，且（2
a
-9
b
）⊥
a
，則2
a
-9
b
與
b
的夾角的余弦值為（　　）

5．若A、B為一對對立事件，其概率分別為P（A）=
4
x
，P（B）=
1
y
，則x+y的最小值為（　　）

6．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若
PA
=
a
，
PB
=
b
，
PC
=
c
，則
BE
=（　　）

7．在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=3，∠BAD=
π
2
，∠BAA₁=∠A₁AD=
π
3
，
CM
=
2
M
C
1
，則AM的長為（　　）