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2022-2023學年湖南省名校聯盟高二（下）期末數學試卷

發布：2024/6/29 8:0:10

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈Z}，
B
=
{
x
|
y
=
1
4
-
x
2
}
，則A∩B真子集的個數為（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
組卷：66引用：2難度：0.7
解析
2．1748年，瑞士數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式e^ix=cosx+isinx（x∈R，i為虛數單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據此公式，化簡
（
e
π
4
i
）
2024
+
e
π
2
i
的結果為（　　）
A．2 B．2i C．1+i D．1-i
組卷：7引用：2難度：0.8
解析
3．已知
α
∈
（
π
，
3
π
2
）
，且
sin
（
α
-
π
4
）
=
m
（
m
＞
0
）
，則
tan
（
α
-
π
4
）
=（　　）
A．
m
1
-
m
2
B．
-
m
1
-
m
2
C．
1
-
m
2
m
D．
-
1
-
m
2
m
組卷：92引用：2難度：0.7
解析
4．已知向量
a
、
b
滿足
|
a
+
b
|
=
|
a
-
2
b
|
，
|
b
|
=
1
，則
|
a
|
cos
?
a
，
b
?
=（　　）
A．-2 B．2 C．
3
2
D．
1
2
組卷：24引用：2難度：0.7
解析
5．“五一”假期期間，某旅游景區為加強游客的安全工作，決定增派甲、乙、丙、丁四位工作人員到A、B、C三個景點進行安全防護宣傳，增派的每位工作人員必須到一個景點，且只能到一個景點做安全防護宣傳，每個景點至少增派一位工作人員．因工作需要，乙不能去A景點，甲和乙不能同去一個景點，則不同的安排方法數為（　　）
A．20 B．30 C．42 D．60
組卷：34引用：2難度：0.8
解析
6．已知圓O：x²+y²=1，點P在直線l：
x
-
y
-
2
2
=
0
上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當∠APB最大時，記劣弧
?
AB
及PA，PB所圍成的平面圖形的面積為S，則（　　）
A．2＜S＜3 B．1＜S≤2 C．1＜S≤3 D．0＜S＜1
組卷：93引用：2難度：0.4
解析
7．南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數列的問題，即一個數列{a_n}本身不是等差數列，但從{a_n}數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列{b_n}（則稱數列{a_n}為一階等差數列），或者{b_n}仍舊不是等差數列，但從{b_n}數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列{c_n}（則稱數列{a_n}為二階等差數列），依次類推，可以得到高階等差數列．類比高階等差數列的定義，我們亦可定義高階等比數列，設數列{a_n}：1，1，3，27，729…是一階等比數列，則
10
∑
n
=
1
lo
g
3
a
n
的值為（參考公式：
1
2
+
2
2
+
…
n
2
=
n
6
（
n
+
1
）
（
2
n
+
1
）
）（　　）
A．60 B．120 C．240 D．480
組卷：85引用：2難度：0.5
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

21．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點M（m,1）到焦點的距離為2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點（-1，0）的直線交拋物線C于A，B兩點，點Q（0，-2），連接QA交拋物線C于另一點E，連接QB交拋物線C于另一點F，且△QAB與△QEF的面積之比為1：3，求直線AB的方程．
組卷：84引用：3難度：0.2
解析
22．已知函數f（x）=ae^x-x²+3（a∈R）．
（1）若方程f（x）=0有3個零點，求實數a的取值范圍；
（2）若φ（x）=-x²+2x+4-f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：
0
＜
a
＜
2
e
e
，且
2
x
2
+
1
2
x
1
+
1
＜
e
x
2
-
e
-
x
1
x
2
+
x
1
．
組卷：44引用：2難度：0.2
解析

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2022-2023學年湖南省名校聯盟高二（下）期末數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈Z}，B={x|y=14-x2}，則A∩B真子集的個數為（ ）

3．已知α∈（π，3π2），且sin（α-π4）=m（m＞0），則tan（α-π4）=（ ）

4．已知向量a、b滿足|a+b|=|a-2b|，|b|=1，則|a|cos?a，b?=（ ）

6．已知圓O：x2+y2=1，點P在直線l：x-y-22=0上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當∠APB最大時，記劣弧?AB及PA，PB所圍成的平面圖形的面積為S，則（ ）

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22．已知函數f（x）=aex-x2+3（a∈R）．（1）若方程f（x）=0有3個零點，求實數a的取值范圍；（2）若φ（x）=-x2+2x+4-f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：0＜a＜2ee，且2x2+12x1+1＜ex2-e-x1x2+x1．

1．已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈Z}，
B
=
{
x
|
y
=
1
4
-
x
2
}
，則A∩B真子集的個數為（　　）

3．已知
α
∈
（
π
，
3
π
2
）
，且
sin
（
α
-
π
4
）
=
m
（
m
＞
0
）
，則
tan
（
α
-
π
4
）
=（　　）

4．已知向量
a
、
b
滿足
|
a
+
b
|
=
|
a
-
2
b
|
，
|
b
|
=
1
，則
|
a
|
cos
?
a
，
b
?
=（　　）

6．已知圓O：x²+y²=1，點P在直線l：
x
-
y
-
2
2
=
0
上運動，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，當∠APB最大時，記劣弧
?
AB
及PA，PB所圍成的平面圖形的面積為S，則（　　）

22．已知函數f（x）=ae^x-x²+3（a∈R）．
（1）若方程f（x）=0有3個零點，求實數a的取值范圍；
（2）若φ（x）=-x²+2x+4-f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：
0
＜
a
＜
2
e
e
，且
2
x
2
+
1
2
x
1
+
1
＜
e
x
2
-
e
-
x
1
x
2
+
x
1
．