2023-2024學年北京三十五中高二（上）期中數學試卷

一．選擇題（共10個小題，每題4分，共40分.每小題只有一個正確選項，請選擇正確答案填在機讀卡相應的題號處）

• 1．過點（1，0）且與直線x-2y-2=0垂直的直線方程是（　　）

  A．x-2y-1=0

  B．x-2y+1=0

  C．2x+y-2=0

  D．x+2y-1=0
  組卷：1170引用：22難度：0.9

  解析

• 2．若

  a

  =

  （

  x

  ,-

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  y

  ,

  6

  ）

  ，且

  a

  ∥

  b

  ，則（　　）

  A．x=1，y=2

  B．x=1，y=-2

  C． x = 1 2 ，y=-2

  D．x=-1，y=-2
  組卷：72引用：3難度：0.7

  解析

• 3．圓x²+y²+2y=1的半徑為（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D．4
  組卷：308引用：15難度：0.9

  解析

• 4．橢圓

  x

  2

  17

  +

  y

  2

  8

  =

  1

  的焦點坐標為（　　）

  A．（5，0），（-5，0）	B．（3，0），（-3，0）
  C．（0，5），（0，-5）	D．（0，3），（0，-3）
  組卷：221引用：4難度：0.7

  解析

• 5．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a,則棱BB₁到面AA₁C₁C的距離為（　　）

  A． 3 3 a

  B．a

  C． 2 2 a

  D． 2 a
  組卷：66引用：4難度：0.6

  解析

• 6．直線

  3

  x

  +

  y

  -

  2

  =

  0

  截圓x²+y²=4得到的弦長為（　　）

  A．1

  B． 2 3

  C． 2 2

  D．2
  組卷：98引用：14難度：0.9

  解析

• 7．已知平面α，β，直線l,b,如果α⊥β，且α∩β=l,M∈α，M∈b,則l⊥b是b⊥β的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：48引用：3難度：0.8

  解析

三．解答題（共6個小題，共85分，請將詳細解答過程寫在答題卡相應的位置．）

• 20．如圖：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，

  A

  A

  1

  =

  2

  2

  ，∠ACB=90°，M是AA₁的中點，N是BC₁的中點．
  （1）求證：MN∥平面A₁B₁C₁；
  （2）求：二面角B-C₁M-A₁的余弦值；
  （3）在線段BC₁上是否存在點P，使得點P到平面MBC的距離為

  3

  3

  ，若存在求此時

  BP

  B

  C

  1

  的值，若不存在請說明理由．
  組卷：219引用：1難度：0.5

  解析

• 21．對任意正整數n,記集合A_n={（a₁，a₂，?，a_n）|a₁，a₂，?，a_n均為非負整數，且a₁+a₂+?+a_n=n}，集合B_n={（b₁，b₂，?，b_n）|b₁，b₂，?，b_n均為非負整數，且b₁+b₂+?+b_n=2n}．設α=（a₁，a₂，?，a_n）∈A_n，β=（b₁，b₂，?，b_n）∈B_n，若對任意i∈{1，2，?，n}都有a_i≤b_i，則記α＜β．
  （Ⅰ）寫出集合A₂和B₂；
  （Ⅱ）證明：對任意α∈A_n，存在β∈B_n，使得α＜β；
  （Ⅲ）設集合S_n={（α，β）|α∈A_n，β∈B_n，α＜β}，求證：S_n中的元素個數是完全平方數．
  組卷：856引用：10難度：0.1

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