2022年江蘇省蘇州市工業園區西附高中納米人才實驗班自主招生數學試卷

一、單項選擇題：本大題共6小題，每小題6分，共計36分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的。請把正確的選項填在相應的位置上.

• 1．數

  1

  1

  11

  +

  1

  12

  +

  1

  13

  +

  ???

  +

  1

  20

  整數部分的個位數是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．以上都不是
  組卷：935引用：1難度：0.5

  解析

• 2．甲、乙、丙共3人參加三項知識競賽，每項知識競賽第一名到第三名的分數依次為10，5，3．競賽全部結束后，甲獲得其中兩項的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是（　　）

  A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分

  B．第二名的總分可能超過18分

  C．第三名的總分共有3種情形

  D．第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名
  組卷：345引用：3難度：0.6

  解析

• 3．已知實數x,y滿足

  26

  x

  3

  y

  3

  x

  6

  -

  27

  y

  6

  =1且x²≠y²，則

  x

  2

  +

  y

  2

  x

  2

  -

  y

  2

  的值為（　　）

  A． 4 5

  B． 5 4

  C． 1 2

  D．2
  組卷：349引用：2難度：0.7

  解析

• 4．如圖，矩形ABCD的頂點A，B分別在x軸、y軸上，OA=OB=2，AD=4

  2

  ，將矩形ABCD繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點C的坐標為（　　）

  A．（6，4）

  B．（-6，4）

  C．（4，-6）

  D．（-4，6）
  組卷：808引用：9難度：0.4

  解析

• 5．在△ABC中，∠ABC=120°，點D在邊AC上，且滿足DB⊥BA，DC=AB，則

  AD

  AB

  =（　　）

  A． 3 2

  B． 3 3

  C． 2

  D． 3
  組卷：454引用：1難度：0.4

  解析

四、解答題：本大題共3個大題，共42分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

• 15．已知關于x的方程|x^2₊2px-3p²+5|-q=0，其中p,q都是實數．
  （1）若q=0時，方程有兩個不同的實數根x₁，x₂，且

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  2

  =

  1

  7

  ，求實數p的值．
  （2）若方程有三個不同的實數根x₁，x₂，x₃，且

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  2

  +

  1

  x

  3

  =

  0

  ，求實數p和q的值．
  （3）是否同時存在質數p和整數q使得方程有四個不同的實數根x₁，x₂，x₃，x₄且x₁x₂x₃x₄=3（

  x

  1

  +

  x

  2

  +

  x

  3

  +

  x

  4

  4

  ）⁴？若存在，求出所有滿足條件的p,q.若不存在，說明理由．
  組卷：670引用：2難度：0.3

  解析

• 16．如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經過點A，點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標分別為（0，6），（4，0），連接PD、PE、DE．
  （1）求出拋物線的解析式；
  （2）小明探究點P的位置發現：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判斷該猜想是否正確，請說明理由；
  （3）小明進一步探究得出結論：若將“使△PDE的面積為整數”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點”．請直接寫出所有“好點”的個數．并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標．
  組卷：549引用：4難度：0.2

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