《第2章 數列》2010年單元測試卷（9）

一、填空題（共1小題，每小題5分，滿分5分）

• 1．某校數學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點P_k（x_k，y_k）處，其中x₁=1，y₁=1，當k≥2時，

  x k = x k - 1 + 1 - 5 [ T （ k - 1 5 ） - T （ k - 2 5 ） ]

  y k = y k - 1 + T （ k - 1 5 ） - T （ k - 2 5 ）

  T（a）表示非負實數a的整數部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為

  ；第2009棵樹種植點的坐標應為

  ．
  組卷：555難度：0.5

  解析

二、解答題（共14小題，滿分0分）

• 2．將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…記表中的第一列數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1．S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足

  2

  b

  n

  b

  n

  S

  n

  -

  S

  2

  n

  =

  1

  （

  n

  ≥

  2

  ）

  ．
  （Ⅰ）證明數列

  {

  1

  S

  n

  }

  成等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；
  （Ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當

  a

  81

  =

  -

  4

  91

  時，求上表中第k（k≥3）行所有項的和．
  組卷：391引用：17難度：0.5

  解析

• 3．在數列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列．
  （1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結論；
  （2）證明：

  1

  a

  1

  +

  b

  1

  +

  1

  a

  2

  +

  b

  2

  +

  …

  +

  1

  a

  n

  +

  b

  n

  ＜

  5

  12

  ．
  組卷：864引用：14難度：0.1

  解析

• 4．（1）設a₁，a₂，…，a_n是各項均不為零的n（n≥4）項等差數列，且公差d≠0，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列．
  （i）當n=4時，求

  a

  1

  d

  的數值；
  （ii）求n的所有可能值．
  （2）求證：對于給定的正整數n（n≥4），存在一個各項及公差均不為零的等差數列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列．
  組卷：491難度：0.5

  解析

• 5．公民在就業的第一年就交納養老儲備金a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d＞0），歷年所交納的儲備金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列．與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利．如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變為a₂（1+r）^n-2，…以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額．
  （Ⅰ）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關系；
  （Ⅱ）求證：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列．
  組卷：353引用：6難度：0.5

  解析

二、解答題（共14小題，滿分0分）

• 14．如圖，在△ABC中，D、E、P、Q、M、N分別是各邊的三等分點，現做投針試驗，則射中陰影部分的概率是

  ．
  組卷：4引用：3難度：0.5

  解析

• 15．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈，S₁₆-S₁₂成等差數列．類比以上結論有：設等比數列{b_n}的前n項積為T_n，則T₄，

  ，

  ，

  T

  16

  T

  12

  成等比數列．
  組卷：470難度：0.7

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