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2023-2024學年湖南省湘潭市鋼鐵集團第一子弟中學高三（上）開學數學試卷（8月份）

發布：2024/7/8 8:0:10

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={y|y=e^x}，則A∩B=（　　）
A．? B．（-1，+∞） C．（0，3） D．（1，3）
組卷：57引用：7難度：0.7
解析
2．歐拉公式e^xi=cosx+isinx（其中i為虛數單位，x∈R）將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，則（　　）
A．e^πi=1
B．
e
πi
2
為實數
C．
|
e
xi
3
+
i
|
=
1
2
D．復數e²ⁱ對應的點位于第三象限
組卷：23引用：3難度：0.7
解析
3．已知
|
a
|
=
2
|
b
|
，若
a
與
b
的夾角為120°，則
2
b
-
a
在
a
上的投影向量為（　　）
A．
3
-
3
a
B．
-
3
2
a
C．
-
1
2
a
D．
3
a
組卷：491引用：11難度：0.8
解析
4．“環境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸福”，隨著經濟的發展和社會的進步，人們的環境保護意識日益增強，貴州某家化工廠產生的廢氣中污染物的含量為1.8mg/cm³，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，貴州省環保部門為了保護好貴州優越的生態環境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.3mg/cm³，若要使該工廠的廢氣達標排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數至少為（　　）（參考數據：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A．7 B．8 C．9 D．10
組卷：130引用：3難度：0.7
解析
5．已知函數y=f（x）對于任意的
x
∈
（
-
π
2
，
π
2
）
滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式成立的是（　　）
A．
f
（
0
）
＞
2
f
（
π
4
）
B．
2
f
（
-
π
3
）
＞
f
（
-
π
4
）
C．
2
f
（
π
3
）
＞
f
（
π
4
）
D．
f
（
0
）
＞
2
f
（
π
3
）
組卷：403引用：7難度：0.6
解析
6．已知銳角△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為
a
,
b
,
c
,
B
=
π
3
，
c
=
2
，則△ABC的周長的取值范圍為（　　）
A．
（
3
+
3
，
2
+
2
3
）
B．
（
3
+
3
，
4
+
2
3
）
C．
（
3
+
3
，
6
+
2
3
）
D．
（
3
+
3
，
+
∞
）
組卷：211引用：3難度：0.5
解析
7．已知C，D是圓O：x²+y²=9上兩個不同動點，直線（m+1）x+y-（m+2）=0恒過定點P，若以CD為直徑的圓過點P，則CD最小值為（　　）
A．4-
2
B．4+
2
C．8-2
2
D．6-
2
組卷：173引用：6難度：0.5
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知函數f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的
x
∈
（
1
e
，
+
∞
）
，f（x）≥0恒成立，求實數m的取值范圍．
組卷：73引用：3難度：0.6
解析
22．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，
A
1
，
A
2
分別為橢圓C的左右頂點，F₁，F₂分別為橢圓C的左右焦點，B是橢圓C的上頂點，且△BA₁F₁的外接圓半徑為
2
21
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P，Q兩點（P，Q在x軸的兩側），記直線A₁P，A₂P，A₂Q，A₁Q的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄．
（ⅰ）求k₁?k₂的值；
（ⅱ）若k₁+k₄=
5
3
（
k
2
+
k
3
）
，則求△F₂PQ的面積的取值范圍．
組卷：102引用：3難度：0.5
解析

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A． f （ 0 ）＞ 2 f （ π 4 ）	B． 2 f （ - π 3 ）＞ f （ - π 4 ）
C． 2 f （ π 3 ）＞ f （ π 4 ）	D． f （ 0 ）＞ 2 f （ π 3 ）

2023-2024學年湖南省湘潭市鋼鐵集團第一子弟中學高三（上）開學數學試卷（8月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={y|y=ex}，則A∩B=（ ）

2．歐拉公式exi=cosx+isinx（其中i為虛數單位，x∈R）將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，則（ ）

3．已知|a|=2|b|，若a與b的夾角為120°，則2b-a在a上的投影向量為（ ）

5．已知函數y=f（x）對于任意的x∈（-π2，π2）滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式成立的是（ ）

6．已知銳角△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,B=π3，c=2，則△ABC的周長的取值范圍為（ ）

7．已知C，D是圓O：x2+y2=9上兩個不同動點，直線（m+1）x+y-（m+2）=0恒過定點P，若以CD為直徑的圓過點P，則CD最小值為（ ）

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知函數f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）若對任意的x∈（1e，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數m的取值范圍．

1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={y|y=e^x}，則A∩B=（　　）

2．歐拉公式e^xi=cosx+isinx（其中i為虛數單位，x∈R）將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋．依據歐拉公式，則（　　）

3．已知
|
a
|
=
2
|
b
|
，若
a
與
b
的夾角為120°，則
2
b
-
a
在
a
上的投影向量為（　　）

5．已知函數y=f（x）對于任意的
x
∈
（
-
π
2
，
π
2
）
滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式成立的是（　　）

6．已知銳角△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為
a
,
b
,
c
,
B
=
π
3
，
c
=
2
，則△ABC的周長的取值范圍為（　　）

7．已知C，D是圓O：x²+y²=9上兩個不同動點，直線（m+1）x+y-（m+2）=0恒過定點P，若以CD為直徑的圓過點P，則CD最小值為（　　）

21．已知函數f（x）=（x-1）lnx-m（x+1）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的
x
∈
（
1
e
，
+
∞
）
，f（x）≥0恒成立，求實數m的取值范圍．