2023-2024學(xué)年北京161中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求。把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置。

• 1．已知集合A={0，1}，B={x∈N|0＜x＜3}，則A∪B=（　　）

  A．{1}

  B．{1，2}

  C．{0，1，2}

  D．{0，1，2，3}
  組卷：44引用：2難度：0.9

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• 2．下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（　　）

  A．y=log2x

  B．y=2-x

  C． y = x + 1

  D．y=x3
  組卷：127引用：6難度：0.8

  解析

• 3．如果平面向量

  a

  =（2，0），

  b

  =（1，1），那么下列結(jié)論中正確的是（　　）

  A．| a |=| b |

  B． a ? b =2 2

  C．（ a - b ）⊥ b

  D． a ∥ b
  組卷：438引用：14難度：0.9

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• 4．“

  x

  ＜

  π

  4

  ”是“tanx＜1”的（　　）

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：42引用：4難度：0.7

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• 5．已知復(fù)數(shù)z=a+i（a∈R），則下面結(jié)論正確的是（　　）

  A． z = - a + i

  B．|z|≥1

  C．z一定不是純虛數(shù)

  D．在復(fù)平面上，z對應(yīng)的點可能在第三象限
  組卷：253引用：5難度：0.8

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• 6．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，離心率為

  3

  3

  ，過F₂的直線l交C于A、B兩點，若△AF₁B的周長為4

  3

  ，則C的方程為（　　）

  A． x 2 3 + y 2 2 =1

  B． x 2 3 +y2=1

  C． x 2 12 + y 2 8 =1

  D． x 2 12 + y 2 4 =1
  組卷：8983引用：113難度：0.9

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• 7．近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=Iⁿ?t,其中n為Peukert常數(shù)．為測算某蓄電池的Peukert常數(shù)n,在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流I=20A時，放電時間t=20h；當(dāng)放電電流I=50A時，放電時間t=5h.若計算時取lg2≈0.3，則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（　　）

  A．1.67

  B．1.5

  C．2.5

  D．0.4
  組卷：269引用：13難度：0.6

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三、解答題：本大題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程，并寫在答題紙相應(yīng)位置。

• 20．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  a

  x

  2

  +

  x

  -

  1

  e

  x

  ．
  （Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，-1）處的切線方程；
  （Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （Ⅲ）求證：當(dāng)a≤-1時，f（x）≥-e.
  組卷：504引用：3難度：0.5

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• 21．設(shè)N為正整數(shù)，區(qū)間I_k=[a_k，a_k+1]（其中a_k∈R，k=1，2，…，N）同時滿足下列兩個條件：
  ①對任意x∈[0，100]，存在k使得x∈I_k；
  ②對任意k∈{1，2，…，N}，存在x∈[0，100]，使得x?I_i（其中i=1，2，…，k-1，k+1，…，N）．
  （Ⅰ）判斷a_k（k=1，2，…，N）能否等于k-1或

  k

  2

  -

  1

  ；（結(jié)論不需要證明）．
  （Ⅱ）求N的最小值；
  （Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不存在，說明理由．
  組卷：128引用：2難度：0.3

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