2023-2024學年四川省成都市樹德中學高二（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．空間向量

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  3

  ，

  x

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，則實數x=（　　）

  A．1

  B．-2

  C．0

  D．2
  組卷：47引用：2難度：0.7

  解析

• 2．已知直線的方程為xsinα-y+2=0，（α∈R），則該直線的傾斜角θ的取值范圍是（　?。?/h2>

  A． [ 0 ， π 4 ] ∪ （ π 2 ， 3 π 4 ]	B． [ 0 ， 3 π 4 ]
  C． [ π 4 ， 3 π 4 ]	D． [ 0 ， π 4 ] ∪ [ 3 π 4 ， π ）
  組卷：104引用：1難度：0.9

  解析

• 3．已知圓A的方程為x²+y²-4x-2y+1=0，圓B的方程為x²+y²+2x-10y+26-m=0，若圓A與圓B外切，則m的值為（　?。?/h2>

  A．1

  B．9

  C．10

  D．16
  組卷：62引用：1難度：0.7

  解析

• 4．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC中，AC=AB=2，AC⊥AB，且CC₁=2，∠A₁AB=∠A₁AC=

  π

  3

  ，則線段BC₁的長度是（　　）

  A． 2 3

  B．3

  C． 3

  D．4
  組卷：62引用：1難度：0.5

  解析

• 5．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是棱AB，BC上的動點，且BN=AM，當三棱錐B₁-MNB的體積最大時，直線AB與平面B₁MN所成角的正弦值為（　?。?/h2>

  A． 2 3

  B． - 2 3

  C． 5 3

  D． - 5 3
  組卷：88難度：0.5

  解析

• 6．已知圓C₁：（x+3）²+（y-5）²=1，圓C₂：（x-6）²+（y-3）²=4，M，N分別是圓C₁，C₂的動點，P為直線x-y-6=0上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（　　）

  A．6

  B．10

  C．13

  D．16
  組卷：166引用：2難度：0.5

  解析

• 7．在Rt△ABC中，AB=BC=2

  2

  ，D為AC的中點．將△ABD沿BD進行旋轉，得到三棱錐C-ABD，當二面角A-BD-C為

  2

  π

  3

  時，C-ABD的外接球的表面積為（　?。?/h2>

  A．16π

  B． 40 3 π

  C．20π

  D． 32 3 π
  組卷：100難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，E為AB的中點．將△ADE沿DE折起，使A到達A'，連接A'B，A'C，得到四棱錐A'-BCDE．
  
  （1）證明：DE⊥A'B；
  （2）當二面角A'-DE-B的平面角在

  [

  π

  4

  ，

  3

  π

  4

  ]

  內變化時，求直線A'C與平面A'DE所成角的正弦值的最大值．
  組卷：158難度：0.5

  解析

• 22．已知圓O：x²+y²=4和點M（2，4）．
  （1）過點M向圓O引切線，求切線的方程．
  （2）點N是圓O上任意一點，S在線段NM的延長線上，且點M是線段SN的中點，求S點運動的軌跡E的方程．
  （3）設圓O與x軸交于C，D兩點，線段MO上的點T上滿足

  16

  TC

  ?

  DT

  =

  CM

  ?

  MD

  ，若T∈直線l,且直線l與（2）中曲線E交于A，B兩點，滿足

  TA

  =

  3

  AB

  ．試探究是否存在這樣的直線l,若存在，請說明理由并寫出直線l的斜率，若不存在，請說明理由．
  組卷：47引用：1難度：0.5

  解析