2022-2023學年山西省陽泉十一中高一（下）期中數學試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．下列命題中真命題的個數是（　　）
  ①溫度、速度、位移、功都是向量
  ②零向量沒有方向
  ③向量的模一定是正數
  ④直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：418引用：3難度：0.7

  解析

• 2．已知兩個單位向量

  a

  ，

  b

  的夾角是120°，則

  |

  a

  -

  b

  |

  =（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D． 3
  組卷：232引用：4難度：0.8

  解析

• 3．設z₁=3+2i,z₂=1+mi（其中i為虛數單位），若z₁z₂為純虛數，則實數m=（　　）

  A． 2 3

  B． - 2 3

  C． - 3 2

  D． 3 2
  組卷：141引用：5難度：0.7

  解析

• 4．下列說法正確的是（　　）

  A．直四棱柱是長方體

  B．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

  C．正方體被一個平面截去一個角之后可以得到一個簡單組合體

  D．臺體是由一個平面截錐體所得的截面與底面之間的部分
  組卷：109引用：2難度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，D為BC的中點，

  EB

  =

  3

  AE

  ，

  AF

  =

  2

  FC

  ，

  EF

  與AD交于點

  G

  ，

  AG

  =

  λ

  AD

  ，則λ=（　　）

  A． 1 2

  B． 4 11

  C． 4 9

  D． 2 3
  組卷：294引用：5難度：0.8

  解析

• 6．“升”和“斗”是舊時量糧食的器具，如圖所示為“升”，是一個無蓋的正四棱臺，據記載：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤．該“升”的容積約是（　　）（約定：“上口”指上底邊長；“下口”指下底邊長．）

  A．1895.8cm3

  B．1894.8cm3

  C．1895.9cm3

  D．1894.9cm3
  組卷：33引用：2難度：0.5

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• 7．已知向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  滿足

  a

  =（3，0），

  b

  =（0，4），

  c

  =λ

  a

  +（1-λ）

  b

  （λ∈R），則|

  c

  |的最小值為（　　）

  A． 5 6

  B． 12 5

  C． 36 5

  D． 48 5
  組卷：454引用：3難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．△ABC中，AB=3，AC=4，A=60°，D，E分別在邊AB，AC上，且AD=2DB，AE=EC．
  （1）求CD與BE所成銳角的余弦值；
  （2）在線段DE上是否存在一點M，使AM⊥BE．若存在，求

  DM

  DE

  的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：23引用：2難度：0.6

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• 22．南北朝時期的偉大科學家祖暅，于五世紀末提出了體積計算原理，即祖暅原理：“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么，這兩個幾何體的體積相等．其最著名之處是解決了“牟合方蓋”的體積問題．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長為r.
  （1）求圖中四分之一圓柱體BB₁C₁-AA₁D₁的體積；
  （2）在圖中畫出四分之一圓柱體BB₁C₁-AA₁D₁與四分之一圓柱體AA₁B₁-DD₁C₁的一條交線（不要求說明理由）；
  （3）四分之一圓柱體BB₁C₁-AA₁D₁與四分之一圓柱體AA₁B₁-DD₁C₁公共部分是八分之一個“牟合方蓋”．點M在棱BB₁上，設MB₁=h.過點M作一個與正方體底面AC平行的平面，求該截面位于八分之一“牟合方蓋”內部分的面積；
  （4）如果令r=2，求出八分之一“牟合方蓋”的體積．
  組卷：89引用：3難度：0.6

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