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2023-2024學年北京市清華大學附中高二（上）期中數學試卷

發布：2024/10/7 1:0:1

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．

1．在復平面內，復數
z
=
1
-
3
i
1
-
i
，則|z|等于（　　）
A．
2
B．
3
C．2 D．
5
組卷：68引用：5難度：0.8
解析
2．已知向量
a
=
（
1
，
2
）
，
a
-
b
=
（
4
，-
2
）
，則
cos
?
a
，
b
?
等于（　　）
A．
1
5
B．
2
5
C．
5
5
D．
2
5
5
組卷：244引用：4難度：0.8
解析
3．已知函數
f
（
x
）
=
3
sin
（
4
x
+
φ
）
（
0
＜
φ
＜
π
2
）
滿足
f
（
π
12
）
=
3
，則
f
（
π
3
）
等于（　　）
A．3 B．
3
2
C．0 D．-3
組卷：211引用：3難度：0.5
解析
4．已知平面α與平面β間的距離為3，定點A∈α，設集合S={B∈β|AB=5}，則S表示的曲線的長度為（　　）
A．6π B．8π C．10π D．12π
組卷：47引用：3難度：0.7
解析
5．已知函數f（x）=ln（x+1），則
f
（
1
）
，
f
（
2
）
2
，
f
（
3
）
3
的大小關系為（　　）
A．
f
（
1
）
＜
f
（
2
）
2
＜
f
（
3
）
3
B．
f
（
3
）
3
＜
f
（
1
）
＜
f
（
2
）
2
C．
f
（
3
）
3
＜
f
（
2
）
2
＜
f
（
1
）
D．
f
（
2
）
2
＜
f
（
1
）
＜
f
（
3
）
3
組卷：649引用：12難度：0.8
解析
6．已知直線l恒過點（0，5），圓C：（x-3）²+y²=9，則“直線l的斜率為
-
8
15
”是“直線l與圓C相切”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
組卷：74引用：4難度：0.6
解析
7．在△ABC中，
sin
B
=
2
sin
A
，
∠
C
=
105
°
，
c
=
3
+
1
，則△ABC的面積為（　　）
A．
3
-
1
2
B．
3
-
1
C．
3
+
1
2
D．
3
+
1
組卷：123引用：3難度：0.6
解析

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三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驗或證明過程．

20．已知函數f（x）=ax+
b
x
+
2
ln
（
1
-
x
）
，曲線y=f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為y+3-2ln2=0．
（1）求a,b的值；
（2）求函數f（x）的定義域及單調區間；
（3）求函數f（x）的零點的個數．
組卷：131引用：4難度：0.3
解析
21．設k,m是正整數，如果存在非負整數a₁，a₂，?，a_k，c₁，c₂，?，c_k使得
m
=
k
∑
i
=
1
（
-
1
）
a
i
2
c
i
，則稱m是k-好數，否則稱m是k-壞數．例如：2=（-1）⁰?2⁰+（-1）⁰?2⁰，所以2是2-好數．
（1）分別判斷22，23，24是否為3-好數；
（2）若m是偶數且是k-好數，求證：m是（k+1）-好數，且
m
2
是k-好數；
（3）求最少的2023-壞數．
組卷：173引用：3難度：0.2
解析

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A． f （ 1 ）＜ f （ 2 ） 2 ＜ f （ 3 ） 3	B． f （ 3 ） 3 ＜ f （ 1 ）＜ f （ 2 ） 2
C． f （ 3 ） 3 ＜ f （ 2 ） 2 ＜ f （ 1 ）	D． f （ 2 ） 2 ＜ f （ 1 ）＜ f （ 3 ） 3

A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件

2023-2024學年北京市清華大學附中高二（上）期中數學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．

1．在復平面內，復數z=1-3i1-i，則|z|等于（ ）

2．已知向量a=（1，2），a-b=（4，-2），則cos?a，b?等于（ ）

3．已知函數f（x）=3sin（4x+φ）（0＜φ＜π2）滿足f（π12）=3，則f（π3）等于（ ）

4．已知平面α與平面β間的距離為3，定點A∈α，設集合S={B∈β|AB=5}，則S表示的曲線的長度為（ ）

5．已知函數f（x）=ln（x+1），則f（1），f（2）2，f（3）3的大小關系為（ ）

6．已知直線l恒過點（0，5），圓C：（x-3）2+y2=9，則“直線l的斜率為-815”是“直線l與圓C相切”的（ ）

7．在△ABC中，sinB=2sinA，∠C=105°，c=3+1，則△ABC的面積為（ ）

三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驗或證明過程．

20．已知函數f（x）=ax+bx+2ln（1-x），曲線y=f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為y+3-2ln2=0．（1）求a,b的值；（2）求函數f（x）的定義域及單調區間；（3）求函數f（x）的零點的個數．

1．在復平面內，復數
z
=
1
-
3
i
1
-
i
，則|z|等于（　　）

2．已知向量
a
=
（
1
，
2
）
，
a
-
b
=
（
4
，-
2
）
，則
cos
?
a
，
b
?
等于（　　）

3．已知函數
f
（
x
）
=
3
sin
（
4
x
+
φ
）
（
0
＜
φ
＜
π
2
）
滿足
f
（
π
12
）
=
3
，則
f
（
π
3
）
等于（　　）

4．已知平面α與平面β間的距離為3，定點A∈α，設集合S={B∈β|AB=5}，則S表示的曲線的長度為（　　）

5．已知函數f（x）=ln（x+1），則
f
（
1
）
，
f
（
2
）
2
，
f
（
3
）
3
的大小關系為（　　）

6．已知直線l恒過點（0，5），圓C：（x-3）²+y²=9，則“直線l的斜率為
-
8
15
”是“直線l與圓C相切”的（　　）

7．在△ABC中，
sin
B
=
2
sin
A
，
∠
C
=
105
°
，
c
=
3
+
1
，則△ABC的面積為（　　）

20．已知函數f（x）=ax+
b
x
+
2
ln
（
1
-
x
）
，曲線y=f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為y+3-2ln2=0．
（1）求a,b的值；
（2）求函數f（x）的定義域及單調區間；
（3）求函數f（x）的零點的個數．