2015年全國100所名校單元測試示范數學試卷（理科）（14）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．在空間中，下列命題正確的是（　　）

  A．若 a 與 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線

  B．若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，則a與c共線

  C．若向量 OA ， OB ， OC 能構成空間的一個基底，則O，A，B，C四點不共面

  D．若 a ∥ b ，則存在唯一的實數λ，使得 a =λ b
  組卷：130引用：2難度：0.9

  解析

• 2．已知

  EF

  =（2，1，6），點E，F所在的直線與一個法向量為

  n

  =（-1，a,1）的平面平行，則實數a等于（　　）

  A．4

  B．-4

  C．8

  D．-8
  組卷：54引用：1難度：0.9

  解析

• 3．已知O是坐標原點，對于空間中任意一點P和不共線的三點A，B，C，滿足：9

  OP

  =

  OA

  +3

  OB

  +5

  OC

  ，則（　　）

  A．P，A，B，C四點共面	B．O，A，B，C四點共面
  C．O，P，B，C四點共面	D．O，P，A，B，C五點共面
  組卷：125引用：1難度：0.9

  解析

• 4．已知平面α的一個法向量為

  n

  1

  =（1，-3，

  6

  ），平面β的一個法向量為

  n

  2

  =（5，1，

  6

  ），若α∩β=l,則二面角α-l-β的余弦值為（　　）

  A． 2 4	B．- 2 4
  C． 2 4 或- 2 4	D． 7 2 16 或- 7 2 16
  組卷：45引用：1難度：0.9

  解析

• 5．一個質點在三個大小相等且不為0的F₁，F₂，F₃的作用下保持靜止狀態，則以下判斷正確的是（　　）

  A．三個力共線

  B．（F1?F2）?F3=0

  C．三個力的兩兩的夾角為 π 3

  D．三個力的兩兩夾角為 2 π 3
  組卷：80引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），則平面ABC的一個單位法向量是（　　）

  A．（ 3 3 ， 3 3 ，- 3 3 ）	B．（ 3 3 ，- 3 3 ， 3 3 ）
  C．（- 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ）	D．（- 3 3 ，- 3 3 ，- 3 3 ）
  組卷：215引用：9難度：0.9

  解析

• 7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，

  BO

  =

  2

  3

  BD

  ，設

  PA

  =

  a

  ，

  PB

  =

  b

  ，

  PC

  =

  c

  ，則

  PO

  等于（　　）

  A．- 1 3 a + 2 3 b + 2 3 c	B． 1 3 a + 2 3 b + 2 3 c
  C． 2 3 a + 1 3 b + 2 3 c	D． 2 3 a - 1 3 b + 2 3 c
  組卷：68引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

• 21．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a,點P在邊AB上，設

  AP

  =λ

  PB

  （λ＞0），過點P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F，沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC，沿PE將△BPF翻折成△B′PF⊥平面ABC．
  （1）求證：B′C∥平面A′PE；
  （2）當二面角C-A′B′-P的余弦值為

  3

  3

  時，求出λ的值．
  組卷：17引用：1難度：0.5

  解析

• 22．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、E分別是A₁C、BC的中點，P是線段A₁O上一動點．
  （1）求直線PA₁與平面AB₁P所成角的正弦的取值范圍；
  （2）當直線PA₁與平面AB₁P所成的角最大時，在平面A₁CD上是否存在一點Q，使得點Q同時滿足下列兩個條件：
  ①EQ⊥AP；
  ②|D₁Q|=

  5

  2

  ．若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：71引用：1難度：0.3

  解析