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2023-2024學年河南省鄭州一中高一（下）期中數學試卷

發布：2025/6/28 22:0:13

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知△ABC的三邊上高的長度比分別為1：
2
：2，若△ABC的最短邊與最長邊的長度和為6，則△ABC面積為（　　）
A．2
2
B．
7
C．
6
D．2
組卷：106引用：2難度：0.5
解析
2．設i是虛數單位，若復數z（1+i）=i,則|z|=（　　）
A．
1
2
B．
2
2
C．1 D．
2
組卷：104引用：5難度：0.8
解析
3．已知z=3+4i,則
1
z
在復平面內對應的點位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
組卷：27引用：2難度：0.8
解析
4．已知α，β是不同的平面，m,n是不同的直線，則下列命題不正確的是（　　）
A．若m⊥α，m∥n,n?β，則α⊥β
B．若m∥n,α∩β=m,則n∥α，n∥β
C．若m∥n,m⊥α，則n⊥α
D．若m⊥α，m⊥β，則α∥β
組卷：532引用：13難度：0.5
解析
5．已知一個銅質的五棱柱的底面積為16cm²，高為4cm,現將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊（不計損耗），那么鑄成的銅塊的棱長是（　　）
A．2cm B．
4
3
cm
C．4cm D．8cm
組卷：177引用：11難度：0.9
解析
6．設
e
1
，
e
2
是兩個不共線的向量，則向量
a
=2
e
1
-
e
2
，與向量
b
=
e
1
+λ
e
2
，（λ∈R）共線，當且僅當λ的值為（　　）
A．0 B．-1 C．-2 D．-
1
2
組卷：50引用：3難度：0.8
解析
7．已知兩條不同直線l,m,兩個不同平面α，β，則下列命題正確的是（　　）
A．若α∥β，l?α，m?β，則l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，則l⊥m
C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，則l⊥m
組卷：590引用：10難度：0.6
解析
8．
AC
可以寫成①
AO
+
OC
；②
AO
-
OC
；③
OA
-
OC
；④
OC
-
OA
．其中正確的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
組卷：543引用：4難度：0.9
解析

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。每小題給出的選項有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,c=2，
C
=
π
3
，sinC+sin（B-A）-2sin2A=0，則下列命題正確的是（　　）
A．b=2a
B．△ABC的周長為
2
+
2
3
C．△ABC的面積為
2
3
3
D．△ABC的外接圓半徑為
4
3
3
組卷：50引用：1難度：0.5
解析
10．已知復數z滿足
z
+
2
z
=
6
+
i
，則（　　）
A．z=2-i
B．
z
1
-
2
i
是純虛數
C．|z|=5
D．復數z在復平面內對應的點在第四象限
組卷：83引用：4難度：0.8
解析
11．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，O為底面ABCD的中心，AC₁交平面A₁BD于點E，點F為棱CD的中點，則（　　）
A．A₁，E，O三點共線
B．三棱錐A₁-BCD的外接球的表面積為3π
C．直線A₁C與平面A₁BD所成的角為45°
D．過點A₁，B，F的平面截該正方體所得截面的面積為
9
8
組卷：140引用：6難度：0.4
解析

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12．在△ABC中，AC=2AB=4，∠BAC=60°．若點D在邊BC上，且滿足
BD
DC
=
1
2
，則AD=
．
組卷：42引用：2難度：0.5
解析
13．已知向量
a
=
（
3
，
4
）
，
b
=
（
1
，
2
）
，則向量
a
在向量
b
上的投影向量的坐標為
．
組卷：24引用：1難度：0.8
解析
14．棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為棱BB₁，AB的中點，則三棱錐A₁-D₁MN的體積為
．
組卷：93引用：2難度：0.5
解析

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15．如圖，在△ABC中，點P滿足
PC
=
2
BP
，O是線段AP的中點，過點O的直線與邊AB，AC分別交于點E，F．
（1）若
AF
=
FC
，求
AE
EB
的值；
（2）若
EB
=
λ
AE
（
λ
＞
0
）
，
FC
=
μ
AF
（
μ
＞
0
）
，求
1
λ
+
1
μ
的最小值．
組卷：188引用：2難度：0.7
解析
16．如圖所示，A-BCP是圓錐的一部分，O是底面圓的圓心，
∠
BOC
=
2
π
3
，P是弧BC上一動點（不與B、C重合），滿足∠COP=θ，M是AB的中點，OA=2OB=2．
（1）若MP∥平面AOC，求sinθ的值；
（2）若四棱錐M-OCPB的體積大于
1
4
，求三棱錐A-MPC體積的取值范圍．
組卷：113引用：2難度：0.4
解析
17．已知非零向量
a
，
b
的夾角為
π
6
，
|
a
|
=
2
3
，
a
⊥
（
2
a
-
b
）
．
（1）求
a
?
b
的值；
（2）求
|
a
+
b
|
．
組卷：23引用：2難度：0.7
解析
18．已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2，AB=1，F為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．
組卷：215引用：3難度：0.5
解析
19．（1）計算；
（
-
1
+
i
）
（
2
+
i
）
1
+
i
；
（2）在復數范圍內解關于x的方程：x²+4x+5=0．
組卷：158引用：5難度：0.7
解析

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A．若α∥β，l?α，m?β，則l∥m	B．若α∥β，m∥α，l⊥β，則l⊥m
C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l∥m	D．若α⊥β，l∥α，m∥β，則l⊥m

2023-2024學年河南省鄭州一中高一（下）期中數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知△ABC的三邊上高的長度比分別為1：2：2，若△ABC的最短邊與最長邊的長度和為6，則△ABC面積為（ ）

2．設i是虛數單位，若復數z（1+i）=i,則|z|=（ ）

3．已知z=3+4i,則1z在復平面內對應的點位于（ ）

4．已知α，β是不同的平面，m,n是不同的直線，則下列命題不正確的是（ ）

5．已知一個銅質的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm,現將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊（不計損耗），那么鑄成的銅塊的棱長是（ ）

6．設e1，e2是兩個不共線的向量，則向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2，（λ∈R）共線，當且僅當λ的值為（ ）

7．已知兩條不同直線l,m,兩個不同平面α，β，則下列命題正確的是（ ）

8．AC可以寫成①AO+OC；②AO-OC；③OA-OC；④OC-OA．其中正確的是（ ）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。每小題給出的選項有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,c=2，C=π3，sinC+sin（B-A）-2sin2A=0，則下列命題正確的是（ ）

10．已知復數z滿足z+2z=6+i，則（ ）

11．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O為底面ABCD的中心，AC1交平面A1BD于點E，點F為棱CD的中點，則（ ）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12．在△ABC中，AC=2AB=4，∠BAC=60°．若點D在邊BC上，且滿足BDDC=12，則AD=．

13．已知向量a=（3，4），b=（1，2），則向量a在向量b上的投影向量的坐標為 ．

14．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1-D1MN的體積為 ．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15．如圖，在△ABC中，點P滿足PC=2BP，O是線段AP的中點，過點O的直線與邊AB，AC分別交于點E，F．（1）若AF=FC，求AEEB的值；（2）若EB=λAE（λ＞0），FC=μAF（μ＞0），求1λ+1μ的最小值．

17．已知非零向量a，b的夾角為π6，|a|=23，a⊥（2a-b）．（1）求a?b的值；（2）求|a+b|．

18．已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2，AB=1，F為CD的中點．（1）求證：AF∥平面BCE；（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

19．（1）計算；（-1+i）（2+i）1+i；（2）在復數范圍內解關于x的方程：x2+4x+5=0．

1．已知△ABC的三邊上高的長度比分別為1：
2
：2，若△ABC的最短邊與最長邊的長度和為6，則△ABC面積為（　　）

2．設i是虛數單位，若復數z（1+i）=i,則|z|=（　　）

3．已知z=3+4i,則
1
z
在復平面內對應的點位于（　　）

4．已知α，β是不同的平面，m,n是不同的直線，則下列命題不正確的是（　　）

5．已知一個銅質的五棱柱的底面積為16cm²，高為4cm,現將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊（不計損耗），那么鑄成的銅塊的棱長是（　　）

6．設
e
1
，
e
2
是兩個不共線的向量，則向量
a
=2
e
1
-
e
2
，與向量
b
=
e
1
+λ
e
2
，（λ∈R）共線，當且僅當λ的值為（　　）

7．已知兩條不同直線l,m,兩個不同平面α，β，則下列命題正確的是（　　）

8．
AC
可以寫成①
AO
+
OC
；②
AO
-
OC
；③
OA
-
OC
；④
OC
-
OA
．其中正確的是（　　）

9．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,c=2，
C
=
π
3
，sinC+sin（B-A）-2sin2A=0，則下列命題正確的是（　　）

10．已知復數z滿足
z
+
2
z
=
6
+
i
，則（　　）

11．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，O為底面ABCD的中心，AC₁交平面A₁BD于點E，點F為棱CD的中點，則（　　）

12．在△ABC中，AC=2AB=4，∠BAC=60°．若點D在邊BC上，且滿足
BD
DC
=
1
2
，則AD=
．

13．已知向量
a
=
（
3
，
4
）
，
b
=
（
1
，
2
）
，則向量
a
在向量
b
上的投影向量的坐標為
．

14．棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為棱BB₁，AB的中點，則三棱錐A₁-D₁MN的體積為
．

15．如圖，在△ABC中，點P滿足
PC
=
2
BP
，O是線段AP的中點，過點O的直線與邊AB，AC分別交于點E，F．
（1）若
AF
=
FC
，求
AE
EB
的值；
（2）若
EB
=
λ
AE
（
λ
＞
0
）
，
FC
=
μ
AF
（
μ
＞
0
）
，求
1
λ
+
1
μ
的最小值．

17．已知非零向量
a
，
b
的夾角為
π
6
，
|
a
|
=
2
3
，
a
⊥
（
2
a
-
b
）
．
（1）求
a
?
b
的值；
（2）求
|
a
+
b
|
．

18．已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2，AB=1，F為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

19．（1）計算；
（
-
1
+
i
）
（
2
+
i
）
1
+
i
；
（2）在復數范圍內解關于x的方程：x²+4x+5=0．