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2023-2024學年吉林省四平第一高級中學高一（下）第一次月考數學試卷

發布：2025/6/29 2:0:12

一、單項選擇題：共本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓弧
?
AB
上的兩個三等分點，
AB
=
a
，
AC
=
b
，則
BD
=（　　）
A．
1
2
a
-
b
B．
a
-
1
2
b
C．-
1
2
a
+
b
D．-
a
+
1
2
b
組卷：105引用：3難度：0.7
解析
2．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.若
A
=
2
π
3
，bc=3，且
b
+
c
=
5
2
a
，則a=（　　）
A．
2
3
B．
3
3
C．
2
2
D．
3
2
組卷：406引用：2難度：0.7
解析
3．已知復數z滿足zi=2+i,則|z|=（　　）
A．1 B．2 C．
5
D．3
組卷：44引用：3難度：0.8
解析
4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,若A，B，C成等差數列，且滿足bcosC+ccosB=2acosA，則△ABC的形狀為（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角非等腰三角形
C．等邊三角形 D．等腰鈍角三角形
組卷：213引用：1難度：0.6
解析
5．在達州市北部的鳳凰山上有一座標志性建筑-鳳凰樓，某同學為測量鳳凰樓的高度MN，在鳳凰樓的正北方向找到一座建筑物AB，高約為22.5m,在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鳳凰樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得鳳凰樓頂部M的仰角為15°，鳳凰樓的高度約為（　　）
A．32m B．39m C．45m D．55m
組卷：118引用：5難度：0.7
解析
6．已知向量
a
=（-3，m），
b
=（1，-2），若
b
∥
（
a
-
b
），則m的值為（　　）
A．-6 B．-4 C．0 D．6
組卷：149引用：4難度：0.8
解析
7．已知
a
=（1，0），
b
=（1，1），若（λ
a
-
b
）⊥
b
，則實數λ=（　　）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
組卷：269引用：17難度：0.7
解析
8．已知對于x的方程x²+（1-2i）x+3m-i=0有實根，則實數m滿足（　　）
A．m≤-
1
4
B．m≥-
1
4
C．m=-
1
12
D．m=
1
12
組卷：569引用：7難度：0.7
解析

二、多項選擇題：共本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全得部選對的得6分，部分選對的得部分得分，有選錯的得0分。

9．給出下列命題，其中正確的選項有（　　）

A．非零向量

，

滿足

，則

與

的夾角為30°

B．若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形

C．若

與

平行，

在

方向上的投影向量為

D．已知

（

，

）

，

（

，

）

，且

與

夾角為銳角，則

∈

（

，

∞

）

組卷：36引用：2難度：0.6

解析

10．如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”．若復數z=a+2i（a∈R）為“等部復數”，則（　　）
A．a=2
B．|z|=4
C．
z
=
2
-
2
i
D．復數（a-2）+（a²-2）i是純虛數
組卷：13引用：0難度：0.8
解析
11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,已知2a²=2b²+c²，則（　　）
A．c=2（bcosA-acosB）
B．若D為AB邊的中點，且CD=2，c=4，則b=2
C．若
tan
B
=
1
3
，則
A
=
π
4
D．當A-B取得最大值時，△ABC為直角三角形
組卷：110引用：1難度：0.4
解析

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應的位置上。

12．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為DC的中點，AE與BD交于點F．則
FD
?
DE
=
．
組卷：54引用：6難度：0.5
解析
13．已知
a
，
b
是單位向量，且
a
?
b
=
1
2
，則向量
2
a
-
b
與
2
b
-
a
的夾角為
．
組卷：164引用：7難度：0.5
解析
14．已知i為虛數單位，且（1+i）z=i³，則復數z的虛部為
．
組卷：74引用：4難度：0.8
解析

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15．已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若
OM
?
ON
=12，其中O為坐標原點，求△OMN的面積．
組卷：144引用：7難度：0.5
解析
16．已知非零向量
a
，
b
，滿足|
a
|=1且（
a
-
b
）?（
a
+
b
）=
1
2
．
（1）若
a
?
b
=
1
2
，求向量
a
，
b
的夾角；
（2）在（1）的條件下，求|
a
-
b
|的值．
組卷：219引用：2難度：0.7
解析
17．請說出下列復數的實部和虛部，并判斷它們是實數、虛數還是純虛數．
①2+3i；
②-3+
1
2
i；
③
2
+i；
④π；
⑤-
3
i；
⑥0．
組卷：16引用：2難度：0.8
解析
18．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分線AD交BC于點D，求AD長度的取值范圍．
組卷：1732引用：13難度：0.6
解析
19．如圖，一個半圓和長方形組成的木塊，長方形的邊CD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB=2，AD=1，現要將此木塊鋸出一個等腰三角形EFG，其底邊EF⊥AB，點E在半圓上．
（1）設
∠
EOC
=
π
6
，求三角形木塊EFG面積；
（2）設∠EOC=θ，試用θ表示三角形木塊EFG的面積S，并求S的最大值．
組卷：509引用：9難度：0.6
解析

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A．等腰直角三角形	B．直角非等腰三角形
C．等邊三角形	D．等腰鈍角三角形

2023-2024學年吉林省四平第一高級中學高一（下）第一次月考數學試卷

一、單項選擇題：共本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓弧?AB上的兩個三等分點，AB=a，AC=b，則BD=（ ）

2．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.若A=2π3，bc=3，且b+c=52a，則a=（ ）

3．已知復數z滿足zi=2+i,則|z|=（ ）

4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,若A，B，C成等差數列，且滿足bcosC+ccosB=2acosA，則△ABC的形狀為（ ）

6．已知向量a=（-3，m），b=（1，-2），若b∥（a-b），則m的值為（ ）

7．已知a=（1，0），b=（1，1），若（λa-b）⊥b，則實數λ=（ ）

8．已知對于x的方程x2+（1-2i）x+3m-i=0有實根，則實數m滿足（ ）

二、多項選擇題：共本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全得部選對的得6分，部分選對的得部分得分，有選錯的得0分。

9．給出下列命題，其中正確的選項有（ ）

10．如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”．若復數z=a+2i（a∈R） 為“等部復數”，則（ ）

11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,已知2a2=2b2+c2，則（ ）

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應的位置上。

12．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為DC的中點，AE與BD交于點F．則FD?DE=．

13．已知a，b是單位向量，且a?b=12，則向量2a-b與2b-a的夾角為 ．

14．已知i為虛數單位，且（1+i）z=i3，則復數z的虛部為．

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15．已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）2+（y-3）2=1交于M，N兩點．（1）求k的取值范圍；（2）若OM?ON=12，其中O為坐標原點，求△OMN的面積．

16．已知非零向量a，b，滿足|a|=1且（a-b）?（a+b）=12．（1）若a?b=12，求向量a，b的夾角；（2）在（1）的條件下，求|a-b|的值．

17．請說出下列復數的實部和虛部，并判斷它們是實數、虛數還是純虛數．①2+3i；②-3+12i；③2+i；④π；⑤-3i；⑥0．

18．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．（1）若c=3a,求cosB的值；（2）若b=1，∠BAC的平分線AD交BC于點D，求AD長度的取值范圍．

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓弧
?
AB
上的兩個三等分點，
AB
=
a
，
AC
=
b
，則
BD
=（　　）

2．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.若
A
=
2
π
3
，bc=3，且
b
+
c
=
5
2
a
，則a=（　　）

3．已知復數z滿足zi=2+i,則|z|=（　　）

4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,若A，B，C成等差數列，且滿足bcosC+ccosB=2acosA，則△ABC的形狀為（　　）

6．已知向量
a
=（-3，m），
b
=（1，-2），若
b
∥
（
a
-
b
），則m的值為（　　）

7．已知
a
=（1，0），
b
=（1，1），若（λ
a
-
b
）⊥
b
，則實數λ=（　　）

8．已知對于x的方程x²+（1-2i）x+3m-i=0有實根，則實數m滿足（　　）

9．給出下列命題，其中正確的選項有（　　）

10．如果一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部復數”．若復數z=a+2i（a∈R）為“等部復數”，則（　　）

11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,已知2a²=2b²+c²，則（　　）

12．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為DC的中點，AE與BD交于點F．則
FD
?
DE
=
．

13．已知
a
，
b
是單位向量，且
a
?
b
=
1
2
，則向量
2
a
-
b
與
2
b
-
a
的夾角為
．

14．已知i為虛數單位，且（1+i）z=i³，則復數z的虛部為
．

15．已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若
OM
?
ON
=12，其中O為坐標原點，求△OMN的面積．

16．已知非零向量
a
，
b
，滿足|
a
|=1且（
a
-
b
）?（
a
+
b
）=
1
2
．
（1）若
a
?
b
=
1
2
，求向量
a
，
b
的夾角；
（2）在（1）的條件下，求|
a
-
b
|的值．

17．請說出下列復數的實部和虛部，并判斷它們是實數、虛數還是純虛數．
①2+3i；
②-3+
1
2
i；
③
2
+i；
④π；
⑤-
3
i；
⑥0．

18．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=（2c-b）cosA．
（1）若c=
3
a,求cosB的值；
（2）若b=1，∠BAC的平分線AD交BC于點D，求AD長度的取值范圍．