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2023年湖南省普通高中學業水平合格性數學試卷

發布：2025/6/29 3:0:17

一、選擇題：本大題共18小題，每小題3分，共54分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合A={x||x-1|＜2}，B={x|x²-2x-3＜0}，則A∩B=（　　）
A．{x|-1＜x＜3} B．{x|-2＜x＜3} C．{x|-2＜x＜-1} D．?
組卷：55引用：2難度：0.8
解析
2．已知
a
=
ln
1
2
，
b
=
lo
g
1
2
1
3
，
c
=
2
-
1
2
，則（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
組卷：59引用：2難度：0.7
解析
3．已知
e
1
，
e
2
是平面內兩個不共線的向量，
AB
=4
e
1
+2
e
2
，
BC
=-
e
1
+λ
e
2
，
CD
=
e
1
+（1-λ）
e
2
，且A，C，D三點共線，則λ=（　　）
A．
1
2
B．2 C．4 D．
1
4
組卷：286引用：7難度：0.7
解析
4．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a²=b²+bc,則tanAtanB的取值范圍為（　　）
A．（1，+∞） B．
（
1
，
3
）
C．（0，1） D．
（
3
，
+
∞
）
組卷：273引用：2難度：0.6
解析
5．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，2AB=BC=CD，BC⊥CD，側面A₁ABB₁為正方形，設點O為四棱錐A₁-CC₁DD外接球的球心，E為DD₁上的動點，則直線AE與OB所成的最小角的正弦值為（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
2
6
5
D．
1
5
組卷：166引用：5難度：0.6
解析
6．復數z=（2+i）（1-2i）的虛部為（　　）
A．4 B．-3 C．4i D．-3i
組卷：9引用：2難度：0.8
解析
7．正實數a,b滿足a+3b-6=0，則
1
a
+
1
+
4
3
b
+
2
的最小值為（　　）
A．
1
3
B．1 C．2 D．
5
9
組卷：396引用：5難度：0.8
解析
8．已知點P（1，-2）是角α終邊上一點，則sinα+cosα=（　　）
A．
5
5
B．
3
5
5
C．
-
3
5
5
D．
-
5
5
組卷：316引用：7難度：0.7
解析
9．若命題p為“?x≥0，x（x-1）＜0”，則￢p為（　　）
A．?x＜0，x（x-1）≥0 B．?x≥0，x（x-1）≥0
C．?x≥0，x（x-1）≥0 D．?x＜0，x（x-1）＜0
組卷：43引用：2難度：0.7
解析
10．如圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，則PB與AC所成的角是（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
組卷：1505引用：28難度：0.7
解析
11．已知a=3^1.2，b=1.2⁰，
c
=
（
1
3
）
-
0
.
9
，則a,b,c的大小關系是（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
組卷：108引用：5難度：0.9
解析
12．擲一個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數，記事件A：點數為2或3，則P（A）=（　　）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
組卷：15引用：1難度：0.8
解析
13．設a,b∈R，則“a+b＞9”是“a＞5且b＞4”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
組卷：74引用：4難度：0.9
解析
14．函數
f
（
x
）
=
x
2
lo
g
4
2
+
x
2
-
x
的大致圖象是（　　）
A． B． C． D．
組卷：740引用：25難度：0.7
解析
15．國防部新聞發言人在2020年9月24日舉行的例行記者會上指出：“臺灣是中國不可分割的一部分，解放軍在臺海地區組織實兵演練，展現的是捍衛國家主權和領土完整的決心和能力”，如圖為我空軍戰機在海面上空繞臺巡航．已知海面上的大氣壓強是760mmHg,大氣壓強p（單位：mmHg）和高度h（單位：m）之間的關系為p=760e^-hk（e是自然對數的底數，k是常數），根據實驗知500m高空處的大氣壓強是700mmHg,則我軍戰機在1000m高空處的大氣壓強約是（結果保留整數）（　　）
A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg
組卷：260引用：9難度：0.9
解析
16．已知某地區中小學生人數如圖①所示，為了解該地區中小學生的近視情況，衛生部門根據當地中小學生人數，用分層抽樣的方法抽取了10%的學生進行調查，調查數據如圖②所示，則估計該地區中小學生的平均近視率為（　　）
A．50% B．32% C．30% D．27%
組卷：48引用：7難度：0.7
解析
17．函數y=
1
-
tan
2
2
x
1
+
ta
n
2
2
x
的最小正周期是（　　）
A．
π
4
B．
π
2
C．π D．2π
組卷：110引用：4難度：0.7
解析
18．函數
f
（
x
）
=
x
+
1
+
1
x
-
3
的定義域為（　　）
A．（-3，0] B．（-3，1]
C．[-1，3）∪（3，+∞） D．[-1，3）
組卷：42引用：2難度：0.9
解析

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

19．在函數y=3^x圖象上有A（x₁，t），B（x₂，t+3），C（x₃，t+6）（其中t≥3）三點，則△ABC的面積S（t）的最大值為
．
組卷：238引用：2難度：0.5
解析
20．在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后顯示出的圖象如圖所示，現給出下面說法：
①前5分鐘溫度增加的速度越來越快；
②前5分鐘溫度增加的速度越來越慢；
③5分鐘以后溫度保持勻速增加；
④5分鐘以后溫度保持不變．
其中正確的說法是
．
（A）①與 ④（B）②與④（C）②與 ③（D）①與③
組卷：37引用：4難度：0.7
解析

21．某中學舉行了一次“環保知識競賽”，全校學生參加了這次競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本進行統計．若下面是尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示），則
a
x
+
b
y
的值為
．

分組頻數頻率

[50，60） 8 0.16

[60，70） a ■

[70，80） 20 0.40

[80，90） ■ 0.08

[90，100] 2 b

合計 ■ 1

組卷：20引用：3難度：0.8

解析

22．已知點A（1，0），B（0，2），C（-1，0），則以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的一個坐標可以是
．
組卷：14引用：1難度：0.7
解析

三、解答題：本大題共3小題，共30分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

23．在三棱錐S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形，O是AC的中點，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：OD∥平面SBC；
（Ⅱ）求證：SO⊥AB．
組卷：148引用：4難度：0.3
解析
24．某廠生產一種產品，圖①是該廠第一季度三個月產量的統計圖，圖②是這三個月的產量與第一季度總產量的比例分布統計圖，統計員在制作圖①，圖②時漏填了部分數據．根據上述信息，回答下列問題：
（1）該廠第一季度哪一個月的產量最高？
月；
（2）該廠一月份產量占第一季度總產量的
%；
（3）該廠質檢科從第一季度的產品中隨機抽樣，抽檢結果發現樣品的合格率為98%．請你估計該廠第一季度生產了多少件合格的產品？（寫出解答過程）
組卷：0引用：0難度：0.9
解析
25．已知函數f（x）=2^x，函數h（x）與f（x）關于點
（
lo
g
2
3
，
3
a
2
）
中心對稱．
（1）求h（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=h（x）有兩個不等的實根x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2，求a的值．
組卷：26引用：3難度：0.4
解析

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A．?x＜0，x（x-1）≥0	B．?x≥0，x（x-1）≥0
C．?x≥0，x（x-1）≥0	D．?x＜0，x（x-1）＜0

A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
C．充分必要條件	D．既不充分又不必要條件

A．（-3，0]	B．（-3，1]
C．[-1，3）∪（3，+∞）	D．[-1，3）

分組	頻數	頻率
[50，60）	8	0.16
[60，70）	a	■
[70，80）	20	0.40
[80，90）	■	0.08
[90，100]	2	b
合計	■	1

2023年湖南省普通高中學業水平合格性數學試卷

一、選擇題：本大題共18小題，每小題3分，共54分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合A={x||x-1|＜2}，B={x|x2-2x-3＜0}，則A∩B=（ ）

2．已知a=ln12，b=log1213，c=2-12，則（ ）

3．已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，AB=4e1+2e2，BC=-e1+λe2，CD=e1+（1-λ）e2，且A，C，D三點共線，則λ=（ ）

4．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a2=b2+bc,則tanAtanB的取值范圍為（ ）

5．四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，2AB=BC=CD，BC⊥CD，側面A1ABB1為正方形，設點O為四棱錐A1-CC1DD外接球的球心，E為DD1上的動點，則直線AE與OB所成的最小角的正弦值為（ ）

6．復數z=（2+i）（1-2i）的虛部為（ ）

7．正實數a,b滿足a+3b-6=0，則1a+1+43b+2的最小值為（ ）

8．已知點P（1，-2）是角α終邊上一點，則sinα+cosα=（ ）

9．若命題p為“?x≥0，x（x-1）＜0”，則￢p為（ ）

10．如圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，則PB與AC所成的角是（ ）

11．已知a=31.2，b=1.20，c=（13）-0.9，則a,b,c的大小關系是（ ）

12．擲一個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數，記事件A：點數為2或3，則P（A）=（ ）

13．設a,b∈R，則“a+b＞9”是“a＞5且b＞4”的（ ）

14．函數f（x）=x2log42+x2-x的大致圖象是（ ）

16．已知某地區中小學生人數如圖①所示，為了解該地區中小學生的近視情況，衛生部門根據當地中小學生人數，用分層抽樣的方法抽取了10%的學生進行調查，調查數據如圖②所示，則估計該地區中小學生的平均近視率為（ ）

17．函數y=1-tan22x1+tan22x的最小正周期是（ ）

18．函數f（x）=x+1+1x-3的定義域為（ ）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

19．在函數y=3x圖象上有A（x1，t），B（x2，t+3），C（x3，t+6）（其中t≥3）三點，則△ABC的面積S（t）的最大值為 ．

22．已知點A（1，0），B（0，2），C（-1，0），則以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的一個坐標可以是 ．

三、解答題：本大題共3小題，共30分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

23．在三棱錐S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形，O是AC的中點，D是AB的中點．（Ⅰ）求證：OD∥平面SBC；（Ⅱ）求證：SO⊥AB．

25．已知函數f（x）=2x，函數h（x）與f（x）關于點（log23，3a2）中心對稱．（1）求h（x）的解析式；（2）若方程f（x）=h（x）有兩個不等的實根x1，x2，且|x1-x2|=2，求a的值．

1．已知集合A={x||x-1|＜2}，B={x|x²-2x-3＜0}，則A∩B=（　　）

2．已知
a
=
ln
1
2
，
b
=
lo
g
1
2
1
3
，
c
=
2
-
1
2
，則（　　）

3．已知
e
1
，
e
2
是平面內兩個不共線的向量，
AB
=4
e
1
+2
e
2
，
BC
=-
e
1
+λ
e
2
，
CD
=
e
1
+（1-λ）
e
2
，且A，C，D三點共線，則λ=（　　）

4．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a²=b²+bc,則tanAtanB的取值范圍為（　　）

5．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，2AB=BC=CD，BC⊥CD，側面A₁ABB₁為正方形，設點O為四棱錐A₁-CC₁DD外接球的球心，E為DD₁上的動點，則直線AE與OB所成的最小角的正弦值為（　　）

6．復數z=（2+i）（1-2i）的虛部為（　　）

7．正實數a,b滿足a+3b-6=0，則
1
a
+
1
+
4
3
b
+
2
的最小值為（　　）

8．已知點P（1，-2）是角α終邊上一點，則sinα+cosα=（　　）

9．若命題p為“?x≥0，x（x-1）＜0”，則￢p為（　　）

10．如圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，則PB與AC所成的角是（　　）

11．已知a=3^1.2，b=1.2⁰，
c
=
（
1
3
）
-
0
.
9
，則a,b,c的大小關系是（　　）

12．擲一個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數，記事件A：點數為2或3，則P（A）=（　　）

13．設a,b∈R，則“a+b＞9”是“a＞5且b＞4”的（　　）

14．函數
f
（
x
）
=
x
2
lo
g
4
2
+
x
2
-
x
的大致圖象是（　　）

17．函數y=
1
-
tan
2
2
x
1
+
ta
n
2
2
x
的最小正周期是（　　）

18．函數
f
（
x
）
=
x
+
1
+
1
x
-
3
的定義域為（　　）

19．在函數y=3^x圖象上有A（x₁，t），B（x₂，t+3），C（x₃，t+6）（其中t≥3）三點，則△ABC的面積S（t）的最大值為
．

22．已知點A（1，0），B（0，2），C（-1，0），則以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的一個坐標可以是
．

23．在三棱錐S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC，且△SAC是正三角形，O是AC的中點，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：OD∥平面SBC；
（Ⅱ）求證：SO⊥AB．

25．已知函數f（x）=2^x，函數h（x）與f（x）關于點
（
lo
g
2
3
，
3
a
2
）
中心對稱．
（1）求h（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=h（x）有兩個不等的實根x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2，求a的值．