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2023-2024學年湖南省長沙市明德中學高二（上）期末數學試卷

發布：2025/6/29 5:0:12

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．兩個等差數列{a_n}和{b_n}，其前n項和分別為S_n，T_n，且
S
n
T
n
=
7
n
+
2
n
+
3
，則
a
2
+
a
20
b
7
+
b
15
等于（　　）
A．
9
4
B．
37
8
C．
79
14
D．
149
24
組卷：1459引用：57難度：0.9
解析
2．拋物線y=x²在點M（
1
2
，
1
4
）的切線的傾斜角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
組卷：28引用：4難度：0.9
解析
3．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（　　）
A．12種 B．15種 C．17種 D．19種
組卷：359引用：11難度：0.7
解析
4．已知點P（4，a），若圓O：x²+y²=4上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（　　）
A．
[
-
3
3
，
3
3
]
B．
[
-
2
5
，
2
5
]
C．
（
-
∞
，-
3
3
]
∪
[
3
3
，
+
∞
）
D．
（
-
∞
，-
2
5
]
∪
[
2
5
，
+
∞
）
組卷：143引用：5難度：0.5
解析
5．若集合A={（x,y）|y=-x²}，B={（x,y）|y=-x-2}，則A∩B=（　　）
A．{（-1，-1），（2，-4）} B．{（-2，-4），（1，-1）}
C．{2，-4} D．{2，-1}
組卷：28引用：2難度：0.7
解析
6．已知
n
=
3
∫
2
0
x
2
dx
，則
（
x
+
1
x
）
n
的展開式中含x²項的系數為（　　）
A．28 B．56 C．96 D．128
組卷：22引用：1難度：0.8
解析
7．沈陽二中24屆籃球賽正如火如荼地進行中，全年級共20個班，每四個班一組，如1-4班為一組，5-8班為二組……進行單循環小組賽（沒有并列），勝出的5個班級和從余下隊伍中選出的數據最優秀的1個班級共6支球隊按抽簽的方式進行淘汰賽，最后勝出的三個班級再進行單循環賽，按積分的高低（假設沒有并列）決出最終的冠亞季軍，請問此次籃球賽學校共舉辦了多少場比賽？（　　）
A．51 B．42 C．39 D．36
組卷：21引用：2難度：0.7
解析
8．系統找不到該試題

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1-1=S_n+2a_n，數列
{
2
n
a
n
?
a
n
+
1
}
的前n項和為T_n，n∈N*，則下列選項正確的為（　　）
A．數列{a_n+1-a_n}是等比數列
B．數列{a_n+1}是等差數列
C．數列{a_n}的通項公式為
a
n
=
2
n
-
1
D．T_n＜1
組卷：52引用：2難度：0.5
解析
10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBC，點E在棱PC上且PE=3EC，點F是△PAD所在平面內的動點，點G是△PBC所在平面內的動點，且點G到直線BC的距離與到點E的距離相等，則（　　）
A．PA⊥平面ABCD
B．若二面角D-PC-A的余弦值為
5
5
，則點A到平面PBC的距離為
5
5
C．若
EF
=
10
4
，則動點F的軌跡長度為
13
4
π
D．若PA=1，則AG的最小值為
3
2
組卷：39引用：2難度：0.5
解析
11．已知函數f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值為3，且f（x）的圖象關于直線
x
=
π
6
對稱，則下列說法正確的是（　　）
A．函數f（x）的最小正周期為2π
B．
f
（
π
3
）
=
3
2
C．函數f（x）的圖象關于點
（
-
π
12
，
0
）
對稱
D．函數f（x）在
[
π
6
，
π
2
]
上單調遞減
組卷：21引用：2難度：0.6
解析

12．已知函數f（x）=
1
3
x
3
-4x+2，下列說法中正確的有（　　）

A．函數f（x）的極大值為

，極小值為-

B．當x∈[3，4]時，函數f（x）的最大值為

，最小值為

C．函數f（x）的單調減區間為[-2，2]

D．曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線方程為y=-4x+2

組卷：261引用：13難度：0.7

解析

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13．奇函數f（x）=ax³+bx²+cx在x=1處有極值，則3a+b+c的值為
．
組卷：125引用：8難度：0.9
解析
14．復數
z
=
|
（
3
-
i
）
i
|
+
i
2019
（
i
為虛數單位），則|z|=
．
組卷：0引用：1難度：0.8
解析
15．
（
x
+
2
x
）
6
的展開式中常數項是
（用數字作答）．
組卷：350引用：13難度：0.7
解析
16．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n，則該數列前8項之和S₈=
．
組卷：35引用：3難度：0.7
解析

四.解答題（本題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．已知函數f（x）=aln（x+1）-sinx.
（1）若f（x）在
[
π
4
，
π
2
]
上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）證明：當a=1時，f（x）在
（
π
2
，
+
∞
）
上有且僅有一個零點．
組卷：490引用：3難度：0.4
解析
18．已知橢圓C：
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
1
3
，上焦點F到上頂點的距離為2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F的直線l交橢圓C于P，Q兩點，與定直線l₁：y=9交于點D，設
DP
=
λ
PF
，
DQ
=
μ
QF
，證明：λ+μ為定值．
組卷：152引用：1難度：0.4
解析
19．已知函數
f
（
x
）
=
cos
2
x
+
3
sin
（
π
-
x
）
cos
（
π
+
x
）
-
1
2
．
（1）求函數f（x）在
[
0
，
π
2
]
上的值域
（2）在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,已知f（A）=-1，a=2，bsinC=asinA，求△ABC的面積
組卷：9引用：1難度：0.5
解析
20．已知f（x）=x²-2x+alnx.
（1）若函數f（x）在x=2處取得極值，求實數a的值；
（2）若a=2，存在正實數x₁，x₂，使得f（x₁）+f（x₂）=x₁+x₂成立，求x₁+x₂的取值范圍．
組卷：58引用：2難度：0.6
解析
21．已知數列{a_n}的首項
a
1
=
4
5
，且滿足
a
n
+
1
=
4
a
n
3
a
n
+
1
（
n
∈
N
+
）
．
（1）求證：數列
{
1
a
n
-
1
}
為等比數列；
（2）若
b
n
=
（
a
n
1
-
a
n
）
（
3
n
-
1
）
，數列{b_n}前n項的和為S_n，求S_n．
組卷：223引用：5難度：0.4
解析
22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，CD=4．
（1）證明：AD⊥PC；
（2）若M為線段PB的靠近B點的四等分點，判斷直線AM與平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交點H的距離，如果不相交，說明理由．
組卷：61引用：3難度：0.5
解析

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A． [ - 3 3 ， 3 3 ]	B． [ - 2 5 ， 2 5 ]
C．（ - ∞ ，- 3 3 ] ∪ [ 3 3 ， + ∞ ）	D．（ - ∞ ，- 2 5 ] ∪ [ 2 5 ， + ∞ ）

A．{（-1，-1），（2，-4）}	B．{（-2，-4），（1，-1）}
C．{2，-4}	D．{2，-1}

2023-2024學年湖南省長沙市明德中學高二（上）期末數學試卷

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．兩個等差數列{an}和{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，且SnTn=7n+2n+3，則a2+a20b7+b15等于（ ）

2．拋物線y=x2在點M（12，14）的切線的傾斜角是（ ）

3．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（ ）

4．已知點P（4，a），若圓O：x2+y2=4上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（ ）

5．若集合A={（x,y）|y=-x2}，B={（x,y）|y=-x-2}，則A∩B=（ ）

6．已知n=3∫20x2dx，則（x+1x）n的展開式中含x2項的系數為（ ）

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）

9．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn+1-1=Sn+2an，數列{2nan?an+1}的前n項和為Tn，n∈N*，則下列選項正確的為（ ）

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBC，點E在棱PC上且PE=3EC，點F是△PAD所在平面內的動點，點G是△PBC所在平面內的動點，且點G到直線BC的距離與到點E的距離相等，則（ ）

11．已知函數f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值為3，且f（x）的圖象關于直線x=π6對稱，則下列說法正確的是（ ）

12．已知函數f（x）=13x3-4x+2，下列說法中正確的有（ ）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13．奇函數f（x）=ax3+bx2+cx在x=1處有極值，則3a+b+c的值為．

14．復數z=|（3-i）i|+i2019（i為虛數單位），則|z|=．

15．（x+2x）6的展開式中常數項是 （用數字作答）．

16．已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an，則該數列前8項之和S8=．

四.解答題（本題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．已知函數f（x）=aln（x+1）-sinx.（1）若f（x）在[π4，π2]上單調遞減，求a的取值范圍；（2）證明：當a=1時，f（x）在（π2，+∞）上有且僅有一個零點．

18．已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的離心率為13，上焦點F到上頂點的距離為2．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F的直線l交橢圓C于P，Q兩點，與定直線l1：y=9交于點D，設DP=λPF，DQ=μQF，證明：λ+μ為定值．

19．已知函數f（x）=cos2x+3sin（π-x）cos（π+x）-12．（1）求函數f（x）在[0，π2]上的值域（2）在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,已知f（A）=-1，a=2，bsinC=asinA，求△ABC的面積

20．已知f（x）=x2-2x+alnx.（1）若函數f（x）在x=2處取得極值，求實數a的值；（2）若a=2，存在正實數x1，x2，使得f（x1）+f（x2）=x1+x2成立，求x1+x2的取值范圍．

21．已知數列{an}的首項a1=45，且滿足an+1=4an3an+1（n∈N+）．（1）求證：數列{1an-1}為等比數列；（2）若bn=（an1-an）（3n-1），數列{bn}前n項的和為Sn，求Sn．

22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，CD=4．（1）證明：AD⊥PC；（2）若M為線段PB的靠近B點的四等分點，判斷直線AM與平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交點H的距離，如果不相交，說明理由．

1．兩個等差數列{a_n}和{b_n}，其前n項和分別為S_n，T_n，且
S
n
T
n
=
7
n
+
2
n
+
3
，則
a
2
+
a
20
b
7
+
b
15
等于（　　）

2．拋物線y=x²在點M（
1
2
，
1
4
）的切線的傾斜角是（　　）

3．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（　　）

4．已知點P（4，a），若圓O：x²+y²=4上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（　　）

5．若集合A={（x,y）|y=-x²}，B={（x,y）|y=-x-2}，則A∩B=（　　）

6．已知
n
=
3
∫
2
0
x
2
dx
，則
（
x
+
1
x
）
n
的展開式中含x²項的系數為（　　）

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1-1=S_n+2a_n，數列
{
2
n
a
n
?
a
n
+
1
}
的前n項和為T_n，n∈N*，則下列選項正確的為（　　）

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBC，點E在棱PC上且PE=3EC，點F是△PAD所在平面內的動點，點G是△PBC所在平面內的動點，且點G到直線BC的距離與到點E的距離相等，則（　　）

11．已知函數f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值為3，且f（x）的圖象關于直線
x
=
π
6
對稱，則下列說法正確的是（　　）

12．已知函數f（x）=
1
3
x
3
-4x+2，下列說法中正確的有（　　）

13．奇函數f（x）=ax³+bx²+cx在x=1處有極值，則3a+b+c的值為
．

14．復數
z
=
|
（
3
-
i
）
i
|
+
i
2019
（
i
為虛數單位），則|z|=
．

15．
（
x
+
2
x
）
6
的展開式中常數項是
（用數字作答）．

16．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n，則該數列前8項之和S₈=
．

17．已知函數f（x）=aln（x+1）-sinx.
（1）若f（x）在
[
π
4
，
π
2
]
上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）證明：當a=1時，f（x）在
（
π
2
，
+
∞
）
上有且僅有一個零點．

19．已知函數
f
（
x
）
=
cos
2
x
+
3
sin
（
π
-
x
）
cos
（
π
+
x
）
-
1
2
．
（1）求函數f（x）在
[
0
，
π
2
]
上的值域
（2）在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,已知f（A）=-1，a=2，bsinC=asinA，求△ABC的面積

20．已知f（x）=x²-2x+alnx.
（1）若函數f（x）在x=2處取得極值，求實數a的值；
（2）若a=2，存在正實數x₁，x₂，使得f（x₁）+f（x₂）=x₁+x₂成立，求x₁+x₂的取值范圍．

21．已知數列{a_n}的首項
a
1
=
4
5
，且滿足
a
n
+
1
=
4
a
n
3
a
n
+
1
（
n
∈
N
+
）
．
（1）求證：數列
{
1
a
n
-
1
}
為等比數列；
（2）若
b
n
=
（
a
n
1
-
a
n
）
（
3
n
-
1
）
，數列{b_n}前n項的和為S_n，求S_n．

22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，CD=4．
（1）證明：AD⊥PC；
（2）若M為線段PB的靠近B點的四等分點，判斷直線AM與平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交點H的距離，如果不相交，說明理由．