2023-2024學年遼寧省沈陽市東北育才雙語學校高二（上）期中數學試卷

一、單選題.（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

• 1．過點P（0，-1）作直線l,若直線l與連接A（-2，1），

  B

  （

  2

  3

  ，

  1

  ）

  兩點的線段總有公共點，則直線l的傾斜角范圍為（　　）

  A． [ π 4 ， π 6 ]	B． [ π 6 ， 3 π 4 ]
  C． [ 0 ， π 6 ] ∪ [ 3 π 4 ， π ）	D． [ π 6 ， π 2 ] ∪ [ 3 π 4 ， π ）
  組卷：209引用：14難度：0.8

  解析

• 2．如圖，空間四邊形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，點M在

  OA

  上，且滿足

  OM

  =2

  MA

  ，點N為BC的中點，則

  NM

  =（　　）

  A． 2 3 a - 1 2 b - 1 2 c	B．- 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 1 2 c	D． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c
  組卷：327引用：14難度：0.7

  解析

• 3．若圓C：x²+y²-4x-4y-8=0上至少有三個不同的點到直線l：x-y+c=0的距離為2，則c的取值范圍是（　　）

  A．[-2 2 ，2 2 ]

  B．（-2 2 ，2 2 ）

  C．[-2，2]

  D．（-2，2）
  組卷：226引用：5難度：0.6

  解析

• 4．油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術節．活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該拿傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當陽光與地面夾角為60°時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e,則e²=（　　）
  

  A． 1 9

  B．7-2 3

  C．3-2 2

  D．3 3 -5
  組卷：284引用：18難度：0.6

  解析

• 5．2023年的五一勞動節是疫情后的第一個小長假，公司籌備優秀員工假期免費旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，山東也成為備選地之一．若每個部門從六個旅游地中選擇一個旅游地，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有（　　）

  A．1800

  B．1080

  C．720

  D．360
  組卷：400引用：18難度：0.6

  解析

• 6．甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項，記事件A：甲和乙選擇的活動各不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇①，則P（B|A）等于（　　）

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 9 25

  D． 9 20
  組卷：262引用：5難度：0.7

  解析

• 7．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，以F₂為圓心的圓與x軸交于F₁，B兩點，與y軸正半軸交于點A，線段AF₁與C交于點M，若|BM|與C的焦距的比值為

  31

  3

  ，則C的離心率為（　　）

  A． 3 + 1 2

  B． 3 2

  C． 5 + 1 2

  D． 7 + 1 2
  組卷：214引用：7難度：0.5

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四、解答題.（共6題，共70分）

• 21．如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱DD₁上的一點，且D₁E=2DE．
  （1）若點F滿足

  BF

  =

  2

  F

  B

  1

  ，求證：CF∥平面A₁EC₁；
  （2）底面ABCD內是否存在一點P，使得PD₁⊥平面A₁C₁E？若存在，求出線段DP的長度；若不存在，請說明理由．
  組卷：85引用：6難度：0.7

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• 22．已知點F（1，0）是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，O為坐標原點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
  （1）求拋物線C的方程；
  （2）求

  OA

  ?

  OB

  的值；
  （3）如圖，過點F的直線l₂交拋物線于C，D兩點（點A，C在x軸的同側，x_A＞x_C），且l₁⊥l₂，直線AC與直線BD的交點為E，記△EFC，ACF的面積分別為S₁，S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的取值范圍．
  組卷：104引用：2難度：0.2

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