2023年湖南省株洲二中自主招生數學試卷（一）

一、選擇題

• 1．計算（1+

  2

  ）²⁰¹⁰（1-

  2

  ）²⁰¹¹的結果是（　　）

  A．1- 2

  B． 2 -1

  C．1

  D．-1
  組卷：473引用：3難度：0.9

  解析

• 2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，則

  AB

  CD

  -

  BC

  CD

  的值為（　　）

  A． 3 3

  B．3- 3

  C．6-3 3

  D． 3
  組卷：356引用：6難度：0.9

  解析

• 3．初三（1）班在今年的植樹節領有平均每人植樹6棵的任務，如果只由女同學完成，每人應植樹15棵，如果只由男同學完成，每人應植樹的棵數為（　　）

  A．9

  B．10

  C．12

  D．14
  組卷：634引用：5難度：0.9

  解析

• 4．如圖所示是一個正方體盒的平面展開圖，如果在期中的三個正方形A、B、C中分別填入適當的數，使得它們折成正方體后，相對的面上的兩個數互為相反數，那么填入A、B、C的三個數依次是（　　）

  A．1，-2，0

  B．-1，2，0

  C．-2，0，1

  D．-2，1，0
  組卷：227引用：3難度：0.5

  解析

• 5．根據下列表格的對應值，判斷方程ax²+bx+c=0（a≠0，a,b,c為常數）一個解的范圍是（　　）
  

  x	3.23	3.24	3.25	3.26
  ax2+bx+c	-0.06	-0.02	0.03	0.07

  A．3＜x＜3.23	B．3.23＜x＜3.24
  C．3.24＜x＜3.25	D．3.25＜x＜3.26
  組卷：104引用：6難度：0.7

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三、解答題（13、14題各11分，15題12分，共34分）

• 14．推理能力都很強的甲、乙、丙站成一列，丙可以看見甲、乙，乙可以看見甲但看不見丙，甲看不見乙、丙．現有5頂帽子，3頂白色，2頂黑色．老師分別給每人戴上一頂帽子（在各自不知道的情況下）．老師先問丙是否知道頭上的帽子顏色，丙回答說不知道；老師再問乙是否知道頭上的帽子顏色，乙也回答說不知道；老師最后問甲是否知道頭上的帽子顏色，甲回答說知道．請你說出甲戴了什么顏色的帽子，并寫出推理過程．
  組卷：602引用：4難度：0.5

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• 15．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

  1

  3

  ．
  （1）求這個二次函數的表達式．
  （2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
  （3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
  （4）如圖，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．
  
  組卷：1461引用：50難度：0.1

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