2022-2023學年天津市南開大學附中高二（上）期中數學試卷

一、單選題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

• 1．設x,y∈R，向量

  a

  =（x,1，1），

  b

  =（1，y,1），

  c

  =（2，-4，2），且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，則|

  a

  +

  b

  |=（　　）

  A． 2 2

  B． 10

  C．3

  D．4
  組卷：2702引用：74難度：0.8

  解析

• 2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M為A₁C₁的中點，若

  AB

  =

  a

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，

  BC

  =

  b

  ，則

  BM

  可表示為（　　）

  A．- 1 2 a + 1 2 b + c

  B． 1 2 a + 1 2 b + c

  C．- 1 2 a - 1 2 b + c

  D． 1 2 a - 1 2 b + c
  組卷：2286引用：19難度：0.9

  解析

• 3．方程x²+y²+4x-2y+5m=0表示圓的條件是（　　）

  A． 1 4 ＜ m ＜ 1

  B．m＞1

  C． m ＜ 1 4

  D．m＜1
  組卷：230引用：11難度：0.9

  解析

• 4．設M為橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  9

  =1上的一個點，F₁，F₂為焦點，∠F₁MF₂=60°，則△MF₁F₂的周長和面積分別為（　　）

  A．16， 3

  B．18， 3

  C．16， 3 3

  D．18， 3 3
  組卷：424引用：8難度：0.7

  解析

• 5．圓C₁：x²+y²+2x-6y-26=0與圓C₂：x²+y²-4x+2y+4=0的位置關系是（　　）

  A．內切

  B．外切

  C．相交

  D．外離
  組卷：357引用：12難度：0.7

  解析

• 6．過點（3，2）且與橢圓3x²+8y²=24有相同焦點的橢圓方程為（　　）

  A． x 2 5 + y 2 10 =1	B． x 2 10 + y 2 15 =1
  C． x 2 15 + y 2 10 =1	D． x 2 25 + y 2 10 =1
  組卷：510引用：12難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共5小題，共55.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 19．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P為棱DF的中點．
  （1）求證：BF∥平面APC；
  （2）求直線DE與平面BCF所成角的正弦值；
  （3）求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值．
  組卷：547引用：8難度：0.5

  解析

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）過點A（2，0），離心率為

  3

  2

  ．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）已知定點E（1，0），若直線y=kx-2（k≠0）與橢圓C相交于M、N兩點，試判斷是否存在實數k,使以MN為直徑的圓過定點E？若存在求出這個k值，若不存在說明理由．
  組卷：510引用：4難度：0.6

  解析