2023-2024學年福建省莆田市擢英中學高二（上）期中數學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）

• 1．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是B₁C₁的中點，設

  h→

  AB

  =

  h→

  a

  ，

  h→

  AD

  =

  h→

  b

  ，

  h→

  A

  A

  1

  =

  h→

  c

  ，則

  h→

  AM

  =（　　）

  A． 1 2 h→ a + h→ b + h→ c

  B． h→ a + 1 2 h→ b + h→ c

  C． h→ a + h→ b + 1 2 h→ c

  D． h→ a + 1 2 h→ b + 1 2 h→ c
  組卷：74引用：2難度：0.7

  解析

• 2．已知直線l₁：mx+2y-2=0與直線l₂：5x+（m+3）y-5=0，若l₁∥l₂，則m=（　　）

  A．-5

  B．2

  C．2或-5

  D．5
  組卷：369引用：24難度：0.7

  解析

• 3．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁A=2，M、N分別是BB₁和B₁C₁的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（　　）

  A． √ 5 2

  B． √ 5

  C． 2 5

  D． 3 5
  組卷：131引用：4難度：0.6

  解析

• 4．設直線l₁：x+3y-7=0與直線l₂：x-y+1=0的交點為P，則P到直線l：x+ay+2-a=0的距離最大值為（　　）

  A． √ 10

  B．4

  C． 3 √ 2

  D． √ 11
  組卷：915引用：12難度：0.7

  解析

• 5．圓O₁：x²+y²=4和圓O₂：x²+y²+2x-4y=0的交點為A，B，則有（　　）

  A．公共弦AB所在直線方程為x-2y+1=0

  B．公共弦AB的長為 4 5 √ 5

  C．線段AB中垂線方程為2x-y=0

  D． ∠ A O 2 B ＞ π 2
  組卷：146引用：3難度：0.6

  解析

• 6．已知橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A，B兩點，若AB的中點坐標為（1，-1），則E的方程為（　　）

  A． x 2 18 + y 2 9 = 1	B． x 2 27 + y 2 18 = 1
  C． x 2 36 + y 2 27 = 1	D． x 2 45 + y 2 36 = 1
  組卷：1064引用：30難度：0.7

  解析

• 7．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC中點，點P在線段A₁C₁上，若直線OP與平面A₁BC₁所成的角為θ，則sinθ的取值范圍是（　　）

  A． [ √ 2 3 ， √ 3 3 ]

  B． [ 1 3 ， 1 2 ]

  C． [ √ 3 4 ， √ 3 3 ]

  D． [ 1 4 ， 1 3 ]
  組卷：737引用：14難度：0.5

  解析

四、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．如圖所示，四邊形ABCD是圓臺EF的軸截面，M是上底面圓周上異于C，D的一點，圓臺的高

  EF

  =

  √

  3

  ，AB=2CD=4．
  （1）證明：△AMB是直角三角形；
  （2）是否存在點M使得平面ADM與平面DME的夾角的余弦值為

  √

  5

  5

  ？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由．
  ?
  組卷：60引用：4難度：0.4

  解析

• 22．設點O為坐標原點，P是圓A：（x+2）²+y²=4上任意一點，點B（2，0），線段BP的垂直平分線與直線AP交于點Q，記點Q的軌跡為曲線C．
  （1）求C的方程；
  （2）設直線l與曲線C（在y軸右側）恰有一個公共點，且l與直線

  y

  =±

  √

  3

  x

  分別交于M，N兩點，求△BMN面積S的最小值．
  組卷：69引用：3難度：0.5

  解析