2023年吉林省長春市東北師大附中高考數學七模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知集合A={x|x²-3x≤4}，B={x|2^x＞2}，則A∩B=（　　）

  A．[-1，+∞）

  B．（4，+∞）

  C．（1，4）

  D．（1，4]
  組卷：148引用：3難度：0.7

  解析

• 2．已知復數z滿足z（1+2i）=|4-3i|（其中i為虛數單位），則復數z的虛部為（　　）

  A．-2

  B．-2i

  C．1

  D．i
  組卷：740引用：18難度：0.8

  解析

• 3．若

  tanα

  =

  -

  cosα

  3

  +

  sinα

  ，則

  sin

  （

  2

  α

  +

  π

  2

  ）

  =（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 7 9

  D． 8 9
  組卷：135引用：3難度：0.6

  解析

• 4．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時20%的速度減少，那他至少經過（　　）小時才能駕駛．（參考數據lg2≈0.301）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  組卷：140引用：7難度：0.6

  解析

• 5．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD于E，則

  AE

  ?

  AO

  =（　　）

  A． 12 25

  B． 24 25

  C． 12 5

  D． 4 5
  組卷：118引用：5難度：0.5

  解析

• 6．現有一個軸截面是邊長為4的等邊三角形的倒置圓錐（頂點在下方，底面在上方），將半徑為

  3

  2

  的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側面相切，過所有切點所在平面將圓錐分割成兩個部分，則分割得到的圓臺的側面積為（　　）

  A． 27 8 π

  B． 33 8 π

  C． 45 8 π

  D． 55 8 π
  組卷：209引用：6難度：0.7

  解析

• 7．已知雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點分為F₁，F₂，左、右頂點分別為A₁，A₂，點M，N在y軸上，且滿足

  OM

  +

  2

  ON

  =

  0

  （O為坐標原點）．直線MA₁，MA₂與C的左、右支分別交于另外兩點P，Q，若四邊形PQF₂F₁為矩形，且P，N，A₂三點共線，則C的離心率為（　　）

  A．3

  B．2

  C． 3

  D． 3 2
  組卷：154引用：5難度：0.4

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，E的準線交x軸于點K，過K的直線l與拋物線E相切于點A，且交y軸正半軸于點P．已知△AKF的面積為2．
  （1）求拋物線E的方程；
  （2）過點P的直線交E于M，N兩點，過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點T，點H滿足

  MT

  =

  TH

  ．證明：直線HN過定點．
  組卷：106引用：6難度：0.5

  解析

• 22．已知函數f（x）=alnx,其中a＞0．
  （1）若直線

  y

  =

  x

  e

  a

  +

  e

  2

  為曲線y=f（x）的一條切線，求實數a的值；
  （2）若對任意兩個不相等的正實數m,n,均有

  mn

  +

  m

  +

  n

  2

  ＞

  m

  -

  n

  f

  （

  m

  ）

  -

  f

  （

  n

  ）

  ，求實數a的取值范圍．
  組卷：32引用：3難度：0.5

  解析