2021-2022學年江蘇省無錫市天一中學強化班高二（下）期中數學試卷

一、選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知集合A={x|-2＜x＜1}，B={x|0≤x≤2}，則A∪B=（　　）

  A．{x|0≤x＜1}

  B．{x|-2＜x≤2}

  C．{x|1＜x≤2}

  D．{x|0＜x＜1}
  組卷：225引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知某圓柱底面的半徑為1，高為2，則該圓柱的表面積為（　　）

  A．2π

  B．4π

  C．6π

  D．8π
  組卷：539引用：14難度：0.9

  解析

• 3．棣莫弗公式（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數

  （

  cos

  π

  6

  +

  isin

  π

  6

  ）

  2023

  在復平面內所對應的點位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：65引用：2難度：0.8

  解析

• 4．在矩形ABCD中，AB=6，AD=3．若點M是CD的中點，點N是BC的三等分點，且

  BN

  =

  1

  3

  BC

  ，則

  AM

  ?

  MN

  =（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D．1
  組卷：82引用：2難度：0.8

  解析

• 5．在（1+x）⁷（1+y）³的展開式中，記x^myⁿ項的系數為f（m,n），則f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（　　）

  A．45

  B．60

  C．120

  D．210
  組卷：63引用：3難度：0.6

  解析

• 6．若圓周率π的近似值可以表示成4cos38°，則

  π

  16

  -

  π

  2

  1

  -

  2

  sin

  2

  7

  °

  的近似值為（　　）

  A． 1 8

  B． - 1 8

  C．8

  D．-8
  組卷：173引用：3難度：0.8

  解析

• 7．已知F₁，F₂為橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的公共點，且∠F₁PF₂=

  π

  3

  ，e₁，e₂分別為橢圓和雙曲線的離心率，則

  4

  e

  1

  e

  2

  3

  e

  1

  2

  +

  e

  2

  2

  的值為（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：204引用：2難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．規定抽球試驗規則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續下去，直至成功．
  （1）某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望；
  （2）為驗證抽球試驗成功的概率不超過

  1

  2

  ，有1000名數學愛好者獨立的進行該抽球試驗，記t表示成功時抽球試驗的輪次數，y表示對應的人數，部分統計數據如下：
  

  t	1	2	3	4	5
  y	232	98	60	40	20

  求y關于t的回歸方程

  ?

  y

  =

  ?

  b

  t

  +

  ?

  a

  ，并預測成功的總人數（精確到1）；
  （3）證明：

  1

  2

  2

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  1

  3

  2

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  （

  1

  -

  1

  3

  2

  ）

  1

  4

  2

  +

  ?

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  （

  1

  -

  1

  3

  2

  ）

  ?

  （

  1

  -

  1

  n

  2

  ）

  1

  （

  n

  +

  1

  ）

  2

  ＜

  1

  2

  ．
  附：經驗回歸方程系數：

  ?

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  y

  i

  -

  n

  x

  ?

  y

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  2

  i

  -

  n

  x

  2

  ，

  ?

  a

  =

  y

  -

  ?

  b

  x

  
  參考數據：

  5

  ∑

  i

  =

  1

  x

  2

  i

  =

  1

  .

  46

  ，

  x

  =

  0

  .

  46

  ，

  x

  2

  =

  0

  .

  212

  （其中

  x

  i

  =

  1

  t

  i

  ，

  x

  =

  1

  5

  5

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  ）．
  組卷：507引用：7難度：0.4

  解析

• 22．已知f（x）=e^x-x²sinx-1．
  （1）證明：當x＞0時，f（x）＞0；
  （2）求f（x）在[-2π，0]上的零點個數．
  組卷：89引用：2難度：0.4

  解析