2023-2024學年北京市東城區東直門中學高三（上）期中數學試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

• 1．已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|x（x-1）＜0}，則?_UA=（　　）

  A．{x|x＞1，或x＜0}

  B．{x|x≥1，或x≤0}

  C．{x|x＞1}

  D．{x|x≥1}
  組卷：151引用：5難度：0.8

  解析

• 2．若復數z₁，z₂在復平面內對應點的坐標分別為（2，1），（0，-1），則z₁?z₂=（　　）

  A．2+i

  B．1-2i

  C．-1-2i

  D．-i
  組卷：157引用：4難度：0.9

  解析

• 3．已知函數f（x）=3sin2x,將函數f（x）的圖象沿x軸向右平移

  π

  8

  個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，則函數g（x）的解析式為（　　）

  A． g （ x ） = 3 sin （ 2 x - π 8 ）	B． g （ x ） = 3 sin （ 2 x - π 4 ）
  C． g （ x ） = 3 sin （ 2 x + π 8 ）	D． g （ x ） = 3 sin （ 2 x + π 4 ）
  組卷：229引用：4難度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  與向量

  b

  的夾角為120°，

  |

  a

  |

  =

  |

  b

  |

  =

  1

  ，則

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =（　　）

  A．3

  B． 3

  C． 2 - 3

  D．1
  組卷：208引用：4難度：0.7

  解析

• 5．已知直線l、m、n與平面α、β，下列命題正確的是（　　）

  A．若α∥β，l?α，n?β，則l∥n	B．若α⊥β，l?α，則l⊥β
  C．若l⊥n,m⊥n則l∥m	D．若l⊥α，l∥β，則α⊥β
  組卷：626引用：14難度：0.8

  解析

• 6．已知直線l₁：mx+（m+1）y+2=0，l₂：（m+1）x+（m+4）y-3=0，則“m=-2”是“l₁⊥l₂”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：142引用：8難度：0.7

  解析

• 7．已知直線

  x

  -

  3

  y

  +

  8

  =

  0

  和圓x²+y²=r²（r＞0）相交于A，B兩點．若|AB|=6，則r的值為（　　）

  A．3

  B． 3

  C．5

  D． 5
  組卷：483引用：9難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的離心率為

  3

  2

  ，長軸的右端點為A（2，0）．
  （Ⅰ）求C的方程；
  （Ⅱ）直線l：y=kx+m與橢圓C分別相交于M，N兩點，且AM⊥AN，點A不在直線l上，
  （ⅰ）試證明直線l過一定點，并求出此定點；
  （ⅱ）從點A作AD⊥MN垂足為D，點

  B

  （

  8

  5

  ，

  2

  ）

  ，寫出|BD|的最小值（結論不要求證明）．
  組卷：282引用：2難度：0.5

  解析

• 21．已知無窮數列{a_n}滿足a_n=max{a_n+1，a_n+2}-min{a_n+1，a_n+2}（n=1，2，3，?），其中max{x,y}表示x,y中最大的數，min{x,y}表示x,y中最小的數．
  （1）當a₁=1，a₂=2時，寫出a₄的所有可能值；
  （2）若數列{a_n}中的項存在最大值，證明：0為數列{a_n}中的項；
  （3）若a_n＞0（n=1，2，3，?），是否存在正實數M，使得對任意的正整數n,都有a_n≤M？如果存在，寫出一個滿足條件的M；如果不存在，說明理由．
  組卷：440引用：12難度：0.3

  解析