2023-2024學年北京師大附屬實驗中學高二（上）期中數學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

• 1．如圖，E，F分別是長方體ABCD-A'B'C'D'的棱AB，CD的中點，則

  AB

  +

  CF

  等于（　　）

  A． AD ′

  B． AC ′

  C． DE

  D． AE
  組卷：208引用：6難度：0.7

  解析

• 2．直線x+

  3

  y-1=0的傾斜角為（　　）

  A．30°

  B．150°

  C．60°

  D．120°
  組卷：330引用：8難度：0.9

  解析

• 3．拋物線x²=ay的焦點坐標為（0，1），則其準線方程為（　　）

  A．x=-1

  B．x=1

  C．y=-1

  D．y=1
  組卷：236引用：3難度：0.9

  解析

• 4．如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于a,E，F，G分別是棱AB，AD，DC的中點．則

  GF

  ?

  AC

  與

  EF

  ?

  BC

  分別等于（　　）

  A． - a 2 2 和 a 2 4

  B． a 2 2 和 - a 2 4

  C． a 2 2 和 a 2 4

  D． - a 2 2 和 a 2 2
  組卷：208引用：6難度：0.5

  解析

• 5．設橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  9

  =

  1

  的兩個焦點為F₁，F₂，過點F₁的直線交橢圓于A，B兩點，如果|AB|=8，那么|AF₂|+|BF₂|的值為（　　）

  A．2

  B．10

  C．12

  D．14
  組卷：478引用：2難度：0.7

  解析

• 6．拋物線y²=4x上的點與其焦點的距離的最小值為（　　）

  A．4

  B．2

  C．1

  D． 1 2
  組卷：204引用：4難度：0.9

  解析

• 7．若雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的焦點F（3，0）到其漸近線的距離為

  5

  ，則雙曲線的方程為（　　）

  A． x 2 4 - y 2 5 = 1

  B． x 2 5 - y 2 4 = 1

  C． x 2 3 - y 2 6 = 1

  D． x 2 6 - y 2 3 = 1
  組卷：364引用：3難度：0.7

  解析

• 8．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P為棱DD₁的中點，點Q為面ADD₁A₁內一點，B₁Q⊥AP，則（　　）

  A． S △ A 1 D 1 Q = 2 S △ A 1 AQ	B． 2 S △ A 1 D 1 Q = S △ A 1 AQ
  C． 2 S △ A 1 D 1 Q = 3 S △ A 1 AQ	D． 3 S △ A 1 D 1 Q = 2 S △ A 1 AQ
  組卷：167引用：3難度：0.5

  解析

五、解答題（本大題共3小題，共34分）

• 23．已知橢圓Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右頂點分別為A₁，A₂，上、下頂點分別為B₂，B₁，

  |

  B

  1

  B

  2

  |

  =

  2

  2

  ，四邊形A₁B₁A₂B₂的周長為

  8

  2

  ．
  （1）求橢圓Γ的方程；
  （2）設點F為橢圓Γ的左焦點，點T（-3，m），過點F作TF的垂線交橢圓Γ于點P，Q，連接OT與PQ交于點H．試判斷

  |

  PH

  |

  |

  HQ

  |

  是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
  組卷：117引用：3難度：0.6

  解析

• 24．n個有次序的實數a₁，a₂，…，a_n所組成的有序數組（a₁，a₂，…，a_n）稱為一個n維向量，其中a_i（i=1，2，…，n）稱為該向量的第i個分量．特別地，對一個n維向量

  a

  =

  （

  a

  1

  ，

  a

  2

  ，…，

  a

  n

  ）

  ，若|a_i|=1，i=1，2…n,稱

  a

  為n維信號向量．設

  a

  =

  （

  a

  1

  ，

  a

  2

  ，…，

  a

  n

  ）

  ，

  b

  =

  （

  b

  1

  ，

  b

  2

  ，…，

  b

  n

  ）

  ，
  則

  a

  和

  b

  的內積定義為

  a

  ?

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  b

  i

  =

  a

  1

  b

  1

  +

  a

  2

  b

  2

  +

  …

  +

  a

  n

  b

  n

  ，且

  a

  ⊥

  b

  ?

  a

  ?

  b

  =0．
  （1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．
  （2）證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．
  （3）已知k個兩兩垂直的2024維信號向量x₁，x₂，…，x_k滿足它們的前m個分量都是相同的，求證：

  km

  ＜45．
  組卷：118引用：11難度：0.3

  解析