2022-2023學年廣東省深圳市科學高中高二（下）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²-x-2＞0}，則?_RA=（　　）

  A．{x|-1＜x＜2}

  B．{x|-1≤x≤2}

  C．{x|x＜-1}∪{x|x＞2}

  D．{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
  組卷：194引用：2難度：0.8

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• 2．在復平面內，復數z₁，z₂對應的點分別是（2，-1），（1，-3），則

  z

  2

  z

  1

  的虛部是（　　）

  A．i

  B．-i

  C．1

  D．-1
  組卷：206引用：6難度：0.8

  解析

• 3．《九章算術》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？答曰：二千一百一十二尺．術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為

  V

  =

  1

  12

  ×

  （底面圓的周長的平方×高），則由此可推得圓周率π的取值為（　　）

  A．3

  B．3.1

  C．3.14

  D．3.2
  組卷：358引用：9難度：0.9

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• 4．已知拋物線y²=2px（p＞0）的準線過雙曲線

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  =

  1

  的一個焦點，則p=（　　）

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  組卷：336引用：4難度：0.7

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• 5．已知向量

  a

  =

  （

  7

  sinθ

  -

  1

  ，

  5

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，-

  cos

  2

  θ

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，則cos2θ=（　　）

  A． - 7 25

  B． 7 25

  C． - 24 25

  D． 24 25
  組卷：607引用：8難度：0.7

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• 6．若冪函數f（x）的圖象過點

  （

  2

  2

  ，

  1

  2

  ）

  ，則函數

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  e

  x

  的遞增區間為（　　）

  A．（0，2）	B．（-∞，0）∪（2，+∞）
  C．（-2，0）	D．（-∞，-2）∪（0，+∞）
  組卷：276引用：3難度：0.6

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• 7．六名同學排成一排照相，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，且甲和丁相鄰的概率為（　　）

  A． 2 5

  B． 1 5

  C． 2 15

  D． 1 10
  組卷：231引用：5難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知橢圓

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓E過T（2，1），直線l：y=x+m與橢圓E交于A、B．
  （1）求橢圓E的標準方程；
  （2）設直線TA、TB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁+k₂=0；
  （3）直線l'是過點T的橢圓E的切線，且與直線l交于點P，定義∠PTB為橢圓E的弦切角，∠TAB為弦TB對應的橢圓周角，探究橢圓E的弦切角∠PTB與弦TB對應的橢圓周角∠TAB的關系，并證明你的結論．
  組卷：134引用：5難度：0.4

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• 22．已知函數f（x）=ae^x-sinx-a.（注：e=2.718281…是自然對數的底數）．
  （1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
  （2）當a＞0時，函數f（x）在區間

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  內有唯一的極值點x₁．
  （ⅰ）求實數a的取值范圍；
  （ⅱ）求證：f（x）在區間（0，π）內有唯一的零點x₀，且x₀＜2x₁．
  組卷：793引用：6難度：0.1

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