2023-2024學(xué)年江蘇省南通市如皋市高三（上）診斷數(shù)學(xué)試卷（9月份）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知集合M={x|x²-2mx-3m²≤0}，N={x|x²+mx-2m²≤0}，定義b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的長(zhǎng)度，若集合M∩N的長(zhǎng)度為4，則M∪N的長(zhǎng)度為（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．10
  組卷：224引用：3難度：0.5

  解析

• 2．設(shè)z=m+ni是方程az⁴+ibz³+cz²+idz+e=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，這里a,b,c,d,e,m,n∈R．則下列各數(shù)一定是方程的根的是（　　）

  A．m-ni

  B．-m+ni

  C．n+mi

  D．1-m+ni
  組卷：25引用：1難度：0.7

  解析

• 3．設(shè)a,b,c為正數(shù)，且a²+b²+c²=1，則a（a+b+c）的最大值為（　　）

  A． 3 + 1 2

  B． 2 + 1 2

  C． 3 2

  D． 2 2
  組卷：158引用：2難度：0.5

  解析

• 4．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）滿足

  f

  （

  π

  4

  ）

  =

  1

  ，

  f

  （

  5

  3

  π

  ）

  =

  0

  且f（x）在

  （

  π

  4

  ，

  5

  π

  6

  ）

  上單調(diào)，則ω的最大值為（　　）

  A． 12 7

  B． 18 17

  C． 6 17

  D． 30 17
  組卷：1053引用：12難度：0.7

  解析

• 5．15個(gè)人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是（　　）

  A． 30 91

  B． 25 91

  C． 15 91

  D． 10 91
  組卷：75引用：4難度：0.7

  解析

• 6．數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x²+y²=1+|x|y就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：
  ①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；
  ②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)

  2

  ；
  ③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．
  其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

  A．①

  B．②

  C．①②

  D．①②③
  組卷：3410引用：26難度：0.7

  解析

• 7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n?2ⁿ，記數(shù)列{a_n-tn}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n≤S₁₀對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

  A． [ 12 11 ， 11 10 ]

  B． （ 12 11 ， 11 10 ]

  C． [ 11 10 ， 10 9 ]

  D． （ 11 10 ， 10 9 ）
  組卷：410引用：9難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

• 21．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  3

  2

  ，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，上頂點(diǎn)為D，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AD的距離為

  2

  5

  5

  ．
  （1）求橢圓的方程；
  （2）過(guò)A點(diǎn)作兩條互相垂直的直線AP，AQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求△BPQ面積的最大值．
  組卷：766引用：4難度：0.3

  解析

• 22．已知函數(shù)f（x）=e^xsinx-x.
  （1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
  （2）證明：

  lnπ

  -

  π

  6

  ＜

  ln

  3

  ．
  組卷：33引用：2難度：0.4

  解析