2023年重慶市九龍坡區渝高中學自主招生數學試卷

一、解答題

• 1．化簡．
  （1）

  （

  4

  x

  2

  -

  4

  -

  2

  x

  +

  2

  ）

  ÷

  x

  2

  -

  4

  x

  x

  -

  2

  ；
  （2）

  x

  2

  -

  4

  x

  +

  4

  x

  2

  +

  x

  ÷（

  3

  x

  +

  1

  -x+1）+

  1

  x

  ．
  組卷：848引用：1難度：0.6

  解析

• 2．解方程．
  （1）3x（x+1）=2（x+1）；
  （2）2x²-3x-5=0．
  組卷：1307引用：3難度：0.7

  解析

• 3．若數m使關于y的不等式組至少有

  2 y + 1 ＞ 0

  2 （ y + 2 m ） ≤ 5 m

  三個整數解，且使關于x的分式方程

  8

  -

  mx

  2

  -

  x

  -

  2

  =

  x

  x

  -

  2

  有整數解，求所有滿足條件的整數m的值的和（寫出過程）．
  組卷：564引用：1難度：0.5

  解析

一、解答題

• 8．如果一個自然數M能分解成p²+q,其中P與q都是兩位數，p與q的十位數字相同，個位數字之和為9，則稱數M為“好數”，并把數M=p²+q的過程，稱為“好分解”，例如：139=11²+18，11與18的十位數字相同，1+8=9，所以139是“好數”；470=21²+29，21與29的十位數字相同，但1+9≠9，所以470不是“好數”．
  （1）判斷268，1061是否是“好數”？并說明理由；
  （2）把一個四位“好數”M進行“好分解”，即M=p²+q,并將p放在q的左邊組成一個新的四位數N，若N能被4整除，且N的各個數位數字之和能被5整除，求出所有滿足條件的M．
  組卷：321引用：3難度：0.6

  解析

• 9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c經過點A（-1，0），B（

  5

  2

  ，0），直線y=x+

  1

  2

  與拋物線交于C，D兩點，點P是拋物線在第四象限內圖象上的一個動點．過點P作PG⊥CD，垂足為G，PQ∥y軸，交x軸于點Q．
  （1）求拋物線的函數表達式；
  （2）當

  2

  PG+PQ取得最大值時，求點P的坐標和

  2

  PG+PQ的最大值；
  （3）將拋物線向右平移

  13

  4

  個單位得到新拋物線，M為新拋物線對稱軸上的一點，點N是平面內一點．當（2）中

  2

  PG+PQ最大時，直接寫出所有使得以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形的點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標的過程寫出來．
  
  組卷：1779引用：4難度：0.3

  解析