2022-2023學年山東省臨沂市蘭山區高二（下）期中數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．

  A

  2

  6

  +

  C

  4

  6

  =（　　）

  A．15

  B．30

  C．45

  D．60
  組卷：137引用：5難度：0.8

  解析

• 2．已知離散型隨機變量X的分布列如下表：
  

  X	0	1	2	3
  P	a	1 3	5a	1 6

  若離散型隨機變量Y=2X+1，則P（Y≥5）=（　　）

  A． 7 12

  B． 5 12

  C． 5 6

  D． 3 4
  組卷：653引用：10難度：0.7

  解析

• 3．若函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  -

  2

  x

  -

  3

  lnx

  ，則函數f（x）的單調遞減區間為（　　）

  A．（0，1），（3，+∞）	B．（0，2），（3，+∞）
  C．（0，3）	D．（1，3）
  組卷：297引用：5難度：0.7

  解析

• 4．在（1+x）⁴+（1+x）⁵+（1+x）⁶+（1+x）⁷+（1+x）⁸+（1+x）⁹的展開式中，含x²項的系數是（　　）

  A．110

  B．112

  C．114

  D．116
  組卷：148引用：3難度：0.5

  解析

• 5．“哥德巴赫猜想”被譽為數學皇冠上的一顆明珠，是數學界尚未解決的三大難題之一．其內容是：“任意一一個大于2的偶數都可以寫成兩個素數（質數）之和．”若我們將10拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，在加數都大于2的條件下，兩個加數均為素數的概率是（　　）

  A． 2 5

  B． 3 5

  C． 2 7

  D． 3 7
  組卷：41引用：5難度：0.8

  解析

• 6．函數f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時有極大值0，則a+b=（　　）

  A．7

  B．6

  C．5

  D．11
  組卷：89引用：2難度：0.6

  解析

• 7．五一國際勞動節，學校團委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學參加，抽簽確定出場順序．在“學生甲必須在學生乙的前面出場”的前提下，學生甲、乙相鄰出場的概率為（　　）

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 1 3

  D． 2 3
  組卷：61引用：3難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．基礎學科招生改革試點，也稱強基計劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生．強基計劃的校考由試點高校自主命題，某試點高校校考過程中筆試通過后才能進入面試環節.2022年報考該試點高校的學生的筆試成績X近似服從正態分布N（μ，σ²）．其中，μ近似為樣本平均數，σ²近似為樣本方差s²．已知μ的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計總體．
  （1）假設有84.135%的學生的筆試成績高于該校預期的平均成績，求該校預期的平均成績大約是多少？
  （2）若筆試成績高于76.5分進入面試，若從報考該試點高校的學生中隨機抽取10人，設其中進入面試學生數為ξ，求隨機變量ξ的期望．
  （3）現有甲、乙、丙、丁四名學生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為

  1

  3

  、

  1

  3

  、

  1

  2

  、

  1

  2

  ．設這4名學生中通過面試的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．
  參考數據：若X～N（μ，σ²），則：P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．
  組卷：127引用：8難度：0.5

  解析

• 22．已知函數f（x）=axlnx（a≠0），函數g（x）=kx-1．
  （1）求f（x）的單調區間；
  （2）當a=1時，若f（x）與g（x）的圖象在區間

  [

  1

  e

  ，

  e

  ]

  上有兩個不同的交點，求k的取值范圍
  組卷：197引用：10難度：0.4

  解析