人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數（30）

一、填空題（共1小題）

• 1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，若動點P在拋物線y=ax²上，⊙P恒過點F（0，n），且與直線y=-n始終保持相切，則n=

  （用含a的代數式表示）．
  組卷：2791引用：55難度：0.5

  解析

二、解答題（共29小題）

• 2．如圖，已知直線y=x與拋物線

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  交于A、B兩點．
  （1）求交點A、B的坐標；
  （2）記一次函數y=x的函數值為y₁，二次函數

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  的函數值為y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范圍；
  （3）在該拋物線上存在幾個點，使得每個點與AB構成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個滿足條件的點P的坐標．
  組卷：429引用：54難度：0.5

  解析

• 3．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點D在y軸上，直線AC與y軸交于點E（0，1），點C的坐標為（2，3）．
  （1）求A、D兩點的坐標；
  （2）求經過A、D、C三點的拋物線的函數關系式；
  （3）在y軸上是否在點P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：350引用：50難度：0.5

  解析

• 4．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0）．與y軸交于點C，頂點為D．
  （1）求頂點D的坐標．（用含a的代數式表示）；
  （2）若△ACD的面積為3．
  ①求拋物線的解析式；
  ②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點P，且∠PAB=∠DAC，求平移后拋物線的解析式．
  組卷：930引用：52難度：0.5

  解析

• 5．如圖1，已知直線l：y=-x+2與y軸交于點A，拋物線y=（x-1）²+k經過點A，其頂點為B，另一拋物線y=（x-h）²+2-h（h＞1）的頂點為D，兩拋物線相交于點C．
  （1）求點B的坐標，并說明點D在直線l上的理由；
  （2）設交點C的橫坐標為m.
   ①交點C的縱坐標可以表示為：

   

  或

   

  ，由此進一步探究m關于h的函數關系式；
   ②如圖2，若∠ACD=90°，求m的值．
  
  組卷：754引用：51難度：0.5

  解析

• 6．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

  1

  2

  x+

  3

  2

  與直線y=x交于點A，點B在直線y=

  1

  2

  x+

  3

  2

  上，∠BOA=90°．拋物線y=ax²+bx+c過點A，O，B，頂點為點E．
  （1）求點A，B的坐標；
  （2）求拋物線的函數表達式及頂點E的坐標；
  （3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FE∥x軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．
  組卷：387引用：51難度：0.5

  解析

• 7．已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，0），（5，0），（3，-4）．        
  （1）求該二次函數的解析式；
  （2）當y＞-3，寫出x的取值范圍； 
  （3）A、B為直線y=-2x-6上兩動點，且距離為2，點C為二次函數圖象上的動點，當點C運動到何處時△ABC的面積最小？求出此時點C的坐標及△ABC面積的最小值．
  組卷：628引用：51難度：0.5

  解析

• 8．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3．取BO的中點D，連接CD、MD和OC．
  （1）求證：CD是⊙M的切線；
  （2）二次函數的圖象經過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點P的坐標；
  （3）在（2）的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使S_△QAM=

  1

  6

  S_△PDM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：471引用：51難度：0.5

  解析

• 9．已知△ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為20．
  （1）寫出△ABC的面積y與BC的長x之間的函數關系式，并求出面積為48時BC的長；
  （2）當BC多長時，△ABC的面積最大？最大面積是多少？
  （3）當△ABC面積最大時，是否存在其周長最小的情形？如果存在，請說出理由，并求出其最小周長；如果不存在，請給予說明．
  組卷：663引用：52難度：0.5

  解析

• 10．如圖，拋物線y=-x²+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上的一個動點且在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點E．
  （1）求點A、B、C的坐標和直線BC的解析式；
  （2）求△ODE面積的最大值及相應的點E的坐標；
  （3）是否存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
  組卷：536引用：52難度：0.5

  解析

二、解答題（共29小題）

• 29．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
  （3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標．
  組卷：1289引用：76難度：0.1

  解析

• 30．如圖，拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C（0，-

  5

  2

  ）三點．
  （Ⅰ）求拋物線的解析式；
  （Ⅱ）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標．
  （Ⅲ）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：3178引用：92難度：0.3

  解析