2022-2023學年四川省綿陽市涪城區南山中學高二（上）期中數學試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．過M（-2，3），N（-3，4）兩點的直線的傾斜角為（　　）

  A． π 4

  B． π 3

  C． 3 π 4

  D． 2 π 3
  組卷：7引用：2難度：0.9

  解析

• 2．長軸長為10，焦點坐標為（0，-4），（0，4）的橢圓方程為（　　）

  A． x 2 9 + y 2 25 = 1	B． x 2 16 + y 2 25 = 1
  C． y 2 9 + x 2 25 = 1	D． y 2 16 + x 2 25 = 1
  組卷：14引用：2難度：0.9

  解析

• 3．雙曲線C：

  x

  2

  9

  -

  y

  2

  16

  =1的左右焦點分別為F₁，F₂，點P在雙曲線C上且|PF₁|=20，則|PF₂|等于（　　）

  A．14

  B．26

  C．14或26

  D．16或24
  組卷：345引用：9難度：0.6

  解析

• 4．已知直線l₁：kx+（k+1）y-2=0與l₂：2kx+4y-1=0平行，則k=（　　）

  A．0或1

  B．1或2

  C．0

  D．1
  組卷：698引用：6難度：0.8

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• 5．已知雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦點為

  F

  （

  4

  3

  ，

  0

  ）

  ，過F和P（0，2b）兩點的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為（　　）

  A． x 2 36 - y 2 12 = 1	B． x 2 12 - y 2 36 = 1
  C． x 2 16 - y 2 32 = 1	D． x 2 32 - y 2 16 = 1
  組卷：1引用：3難度：0.5

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• 6．已知直線l：（1-2a）x+（3a+2）y-a=0，若不論a為何值時，直線l總經過一個定點，則這個定點的坐標是（　　）

  A．（-2，1）

  B．（-1，0）

  C． （ - 2 7 ， 1 7 ）

  D． （ 1 7 ，- 2 7 ）
  組卷：20引用：1難度：0.8

  解析

• 7．數學家蒙日發現：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓．若圓

  x

  2

  12

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的蒙日圓為x²+y²=20，則該橢圓的離心率為（　　）

  A． 3 3

  B． 1 3

  C． 2 3

  D． 6 3
  組卷：53引用：4難度：0.7

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三、解答題：本大題共6小題，17題10分，其余各題12分，共70分，解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．

• 21．已知拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點為F，A為E上一點，|AF|的最小值為1．
  （1）求拋物線E的標準方程；
  （2）過焦點F作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，l₁與拋物線E相交于P，Q兩點，l₂與拋物線E相交于M，N兩點．若C，D分別是線段PQ，MN的中點，求|FC|²+|FD|²的最小值．
  組卷：12引用：2難度：0.5

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• 22．橢圓C的方程為

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，過橢圓左焦點F₁的直線與橢圓相交于點P、Q，橢圓的右焦點為F₂，已知△PQF₂的周長為8，且橢圓過點

  A

  （

  3

  ，

  1

  2

  ）

  ．
  （1）求橢圓C中a,b的值；
  （2）過橢圓C的右焦點F₂作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若

  MA

  =

  λ

  1

  A

  F

  2

  ，

  MB

  =

  λ

  2

  B

  F

  2

  ，求證：λ₁+λ₂為定值．
  組卷：59引用：3難度：0.3

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