2023年山東省淄博市部分學校高考數(shù)學診斷試卷（4月份）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（1+i）=|1+i|，則z=（　　）

  A． - 2 2 + 2 i 2

  B． - 2 2 - 2 i 2

  C． 2 2 + 2 i 2

  D． 2 2 - 2 i 2
  組卷：190引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知集合A={x|2^x＞1}，B={x|lnx＞1}，則下列集合為空集的是（　　）

  A．A∩（?RB）	B．（?RA）∩B
  C．A∩B	D．（?RA）∩（?RB）
  組卷：83引用：3難度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  滿足

  a

  ?

  b

  =

  10

  ，且

  b

  =

  （

  6

  ，-

  8

  ）

  ，則

  a

  在

  b

  上的投影向量為（　　）

  A．（-6，8）

  B．（6，-8）

  C． （ - 3 5 ， 4 5 ）

  D． （ 3 5 ，- 4 5 ）
  組卷：286引用：5難度：0.8

  解析

• 4．“

  a

  ≥

  2

  2

  ”是“圓C₁：x²+y²=4與圓C₂：（x-a）²+（y+a）²=1有公切線”的（　　）

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：189引用：8難度：0.6

  解析

• 5．某學生到工廠實踐，欲將一個底面半徑為2，高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內(nèi)，若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是（　　）

  A． 16 π 9

  B． 8 π 9

  C． 16 π 27

  D． 8 π 27
  組卷：238引用：7難度：0.6

  解析

• 6．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若從橢圓右焦點F₂發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足AB⊥AD，且cos∠ABC=

  3

  5

  ，則該橢圓的離心率為（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D． 5 3
  組卷：719引用：13難度：0.6

  解析

• 7．已知tanα，tanβ是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，有以下四個命題：
  甲：

  tan

  （

  α

  +

  β

  ）

  =

  -

  1

  2

  ；
  乙：tanαtanβ=7：3；
  丙：

  sin

  （

  α

  +

  β

  ）

  cos

  （

  α

  -

  β

  ）

  =

  5

  4

  ；
  丁：tanαtanβtan（α+β）-tan（α+β）=5：3．
  如果其中只有一個假命題，則該命題是（　　）

  A．甲

  B．乙

  C．丙

  D．丁
  組卷：142引用：6難度：0.4

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長．某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）
  步驟1：設圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標記為F；
  步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點F；
  步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
  步驟4：不斷重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．則這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓．
  現(xiàn)取半徑為

  4

  2

  的圓形紙片，定點F到圓心E的距離為

  2

  6

  ，按上述方法折紙．以向量

  FE

  的方向為x軸正方向，線段EF中點為原點建立平面直角坐標系．
  （1）求折痕圍成的橢圓Γ的標準方程；
  （2）已知點M是圓x²+y²=10上任意一點，過點M作橢圓Γ的兩條切線，切點分別是A，B，求△MAB面積的最大值，并確定此時點M的坐標．
  注：橢圓：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  上任意一點P（x₀，y₀）處的切線方程是：

  x

  0

  x

  a

  2

  +

  y

  0

  y

  b

  2

  =

  1

  ．
  組卷：129引用：7難度：0.5

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• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  aln

  （

  x

  -

  a

  ）

  -

  1

  2

  x

  2

  +

  x

  ，a∈R．
  （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （2）若x₁，x₂是函數(shù)

  g

  （

  x

  ）

  =

  alnx

  -

  1

  2

  x

  2

  +

  x

  的兩個極值點，且x₁＜x₂，求證：f（x₁）-f（x₂）＜0．
  組卷：271引用：5難度：0.2

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