2022-2023學年吉林省長春市東北師大附中高二（下）期末數學試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知某質點運動的位移y（單位；cm）與時間t（單位；s）之間的關系為y（t）=ln（2t+1），則該質點在t=2s時的瞬時速度為（　　）

  A． 1 5

  B． 2 5

  C．2

  D．4
  組卷：78引用：5難度：0.8

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• 2．某中學課外活動小組為了研究經濟走勢，根據該市1999-2021年的GDP（國內生產總值）數據繪制出下面的散點圖：
  
  該小組選擇了如下2個模型來擬合GDP值y隨年份x的變化情況，模型一：y=kx+b（k＞0，x＞0）；模型二：y=ke^x+b（k＞0，x＞0），下列說法正確的是（　　）

  A．變量y與x負相關

  B．根據散點圖的特征，模型一能更好地擬合GDP值隨年份的變化情況

  C．若選擇模型二，y=kex+b的圖象一定經過點（ x ， y ）

  D．當x=13時，通過模型計算得GDP值為70，實際GDP的值為71，則殘差為1
  組卷：28引用：2難度：0.6

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• 3．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  -

  lnx

  的減區間為（　　）

  A．（-1，1）

  B．（-∞，1）

  C．（0，1）

  D．（0，+∞）
  組卷：80引用：4難度：0.8

  解析

• 4．已知隨機變量X的分布列為（　　）
  

  X	0	1	2
  P	1 3	1 3	1 3

  設Y=2X+3，則D（Y）等于（　　）

  A． 5 3

  B． 8 3

  C． 2 3

  D． 1 3
  組卷：222引用：5難度：0.9

  解析

• 5．某教育局為振興鄉村教育，將5名教師安排到3所鄉村學校支教，若每名教師僅去一所學校，每所學校至少安排1名教師，則不同的安排情況有（　　）

  A．300種

  B．210種

  C．180種

  D．150種
  組卷：207引用：3難度：0.7

  解析

• 6．已知數列{a_n}，{b_n}，其中a₁=1，且a_n，a_n+1是方程x²-b_nx+2ⁿ=0的實數根，則b₁₀等于（　　）

  A．24

  B．32

  C．48

  D．64
  組卷：232引用：4難度：0.6

  解析

• 7．已知函數f（x）=

  e

  x

  x

  -ax,x∈（0，+∞），當x₂＞x₁＞0時，不等式

  f

  （

  x

  1

  ）

  x

  2

  ＜

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

  A．（-∞， e 2 ]

  B．（-∞，e）

  C．（-∞， e 2 ）

  D．（-∞，e]
  組卷：905引用：9難度：0.8

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四、解答題：本大題共6小題，共56分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  2

  2

  ，H（1，

  6

  2

  ）是C上一點．
  （1）求C的方程．
  （2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，過點D（1，0）作斜率不為0的直線l,l與C交于P，Q兩點，直線AP與直線BQ交于點M，記AP的斜率為k₁，BQ的斜率為k₂．
  證明：①

  k

  1

  k

  2

  為定值；②點M在定直線上．
  組卷：500引用：7難度：0.4

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• 22．已知f（x）=

  1

  2

  x²-a（x-1）-xlnx有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
  （1）求a的范圍；
  （2）當0＜a≤1-ln2時，證明：

  a

  +

  1

  2

  ＜f（x₁）+f（x₂）＜1．
  組卷：121引用：2難度：0.6

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