2022-2023學年湖南省長沙市天心區明德中學高二（下）第三次段考數學試卷

一、單選題（8×5=40分）

• 1．設集合A={x|2^x-1＜1}，B={y|y=x²，x∈A}，則（　　）

  A．A?B

  B．B?A

  C．A∩B=?

  D．A∪B=R
  組卷：11引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知復數z₁=2+i,z₂=1-2i,則（　　）

  A．|z1|=|z2|

  B．z1的共軛復數為z2

  C．復數z1z2對應的點位于第二象限

  D．復數 z 1 z 2 為純虛數
  組卷：107引用：7難度：0.7

  解析

• 3．平行四邊形ABCD中，點M在邊AB上，AM=3MB，記

  CA

  =

  a

  ，

  CM

  =

  b

  ，則

  AD

  =（　　）

  A． 4 3 a - 7 3 b

  B． 2 3 b - 4 3 a

  C． 7 3 b - 4 3 a

  D． 1 3 a - 4 3 b
  組卷：774引用：6難度：0.8

  解析

• 4．函數f（x）=x-2ln（2x）的單調遞減區間為（　　）

  A．（-∞，1）

  B．（0，1）

  C．（0，2）

  D．（2，+∞）
  組卷：245引用：6難度：0.7

  解析

• 5．雙曲線

  x

  2

  m

  2

  -

  y

  2

  2

  n

  2

  =

  1

  和橢圓

  x

  2

  2

  m

  2

  +

  y

  2

  n

  2

  =

  1

  有共同的焦點，則橢圓的離心率是（　　）

  A． 3 2

  B． 15 3

  C． 6 4

  D． 30 6
  組卷：163引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

  π

  2

  ），若f（x+

  π

  6

  ）為偶函數，y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為

  π

  2

  的等差數列．將函數f（x）圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的

  1

  2

  ，縱坐標不變，再向左平移

  π

  12

  個單位后得到函數g（x）的圖象．則f（

  π

  3

  ）+g（

  π

  3

  ）=（　　）

  A．0

  B．-2

  C．1

  D．-1
  組卷：145引用：2難度：0.6

  解析

• 7．設{a_n}是公比為q的等比數列，其前n項的積為T_n，并且滿足條件：a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，

  a

  99

  -

  1

  a

  100

  -

  1

  ＜

  0

  ．給出下列結論：①0＜q＜1；②T₁₉₈＜1；③a₉₉a₁₀₁＜1；④使T_n＜1成立的最小的自然數n等于199．其中正確結論的編號是（　　）

  A．①②③

  B．①④

  C．②③④

  D．①③④
  組卷：68引用：3難度：0.9

  解析

四、解答題（10+12×5=70分）

• 21．某產品自生產并投入市場以來，生產企業為確保產品質量，決定邀請第三方檢測機構對產品進行質量檢測，并依據質量指標Z來衡量產品的質量．當Z≥8時，產品為優等品；當6≤Z＜8時，產品為一等品；當2≤Z＜6時，產品為二等品，第三方檢測機構在該產品中隨機抽取500件，繪制了這500件產品的質量指標Z的條形圖．用隨機抽取的500件產品作為樣本，估計該企業生產該產品的質量情況，并用頻率估計概率．
  
  （1）從該企業生產的所有產品中隨機抽取1件，求該產品為優等品的概率；
  （2）現某人決定購買80件該產品已知每件成本1000元，購買前，邀請第三方檢測機構對要購買的80件產品進行抽樣檢測，買家、企業及第三方檢測機構就檢測方案達成以下協議：從80件產品中隨機抽出4件產品進行檢測，若檢測出3件或4件為優等品，則按每件1600元購買，否則按每件1500元購買，每件產品的檢測費用250元由企業承擔．記企業的收益為X元，求X的分布列與數學期望：
  （3）商場為推廣此款產品，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎“活動，客戶可根據拋硬幣的結果，操控機器人在方格上行進，已知硬幣出現正、反面的概率都是

  1

  2

  ．方格圖上標有第0格、第1格、第2格…50機器人開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機器人向前移動一次，若擲出正面，機器人向前移動一格（從k到k+1），若攜出反面，機器人向前移動兩格（從k到k+2），直到機器人移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束，若機器人停在“勝利大本營“，則可獲得優惠券，設機器人移到第n格的概率為P_n（0≤n≤50，n∈N*），試證明{P_n-P_n-1}（1≤n≤49，n∈N*）是等比數列，并解釋此方案能否吸引顧客購買：該款產品．
  組卷：594引用：6難度：0.3

  解析

• 22．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率e=

  1

  2

  ，左頂點為A（-4，0），過點A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）已知P為AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點Q的坐標；若不存在說明理由；
  （3）若過O點作直線l的平行線交橢圓C于點M，求

  AD

  +

  AE

  OM

  的最小值．
  組卷：1621引用：15難度：0.5

  解析