2023-2024學年福建省廈門市湖濱中學高二（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．

• 1．直線l₁⊥l₂，若l₁的傾斜角為30°，則l₂的斜率為（　　）

  A． 3

  B． - 3

  C． 3 3

  D． - 3 3
  組卷：117引用：4難度：0.8

  解析

• 2．已知圓C₁：x²+y²-4x-6y+9=0與圓C₂：（x+1）²+（y+1）²=9，則圓C₁與圓C₂的位置關系為（　　）

  A．相交

  B．外切

  C．外離

  D．內含
  組卷：80引用：2難度：0.7

  解析

• 3．已知直線l過點P（2，0），方向向量為

  n

  =（1，-1），則原點O到l的距離為（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．3
  組卷：152引用：6難度：0.8

  解析

• 4．如圖，在三棱錐O-ABC中，點D是棱AC的中點，若

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，則

  BD

  等于（　　）

  A． - a + b - c

  B． a - b + c

  C． - 1 2 a + b - 1 2 c

  D． 1 2 a - b + 1 2 c
  組卷：42引用：8難度：0.7

  解析

• 5．設點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-

  4

  9

  ，點M的軌跡方程為（　　）

  A． x 2 25 + 9 y 2 100 =1（x≠±5）	B． x 2 25 - 9 y 2 100 =1（x≠±5）
  C． y 2 25 + 9 x 2 100 =1（y≠±5）	D． y 2 25 - 9 x 2 100 （y≠±5）
  組卷：82引用：3難度：0.5

  解析

• 6．已知橢圓C：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  的左焦點是F₁，過F₁的直線l：y=x+m與圓：x²+y²=4交于A，B兩點，則|AB|的長為（　　）

  A． 14

  B． 7

  C．2

  D． 14 2
  組卷：261引用：7難度：0.7

  解析

• 7．如圖，在棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA=1，OB=2，OC=3，則直線OB與平面ABC所成角的正弦值為（　　）

  A． 2 10 7

  B． 2 7

  C． 3 7

  D． 3 5 7
  組卷：58引用：2難度：0.6

  解析

四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為AC的中點，點P在棱BB₁上．
  （1）若

  BP

  =

  1

  2

  P

  B

  1

  ，證明：D₁O與平面PAC不垂直；
  （2）若D₁O⊥平面PAC，求平面PCD₁與平面PAC的夾角的余弦值．
  組卷：67引用：3難度：0.6

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• 22．已知圓C過點A（2，6），B（-1，3），且圓心在直線y=x+1上．
  （1）求圓C的方程；
  （2）設點D在圓上運動，點E（3，2），記M為過D，E兩點的弦的中點，求M的軌跡方程；
  （3）在（2）的條件下，若直線DE與直線l：y=x-2交于點N，證明：|EM|?|EN|恒為定值．
  組卷：86引用：4難度：0.5

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