2022-2023學年山西省大同市高二（上）期中數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知不重合的平面α和平面β的法向量分別為

  m

  =（3，1，-5），

  n

  =（-6，-2，10），則（　　）

  A．α⊥β	B．α∥β
  C．α與β相交但不垂直	D．以上都不對
  組卷：123引用：5難度：0.7

  解析

• 2．橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  和

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  k

  （

  k

  ＞

  0

  ）

  具有（　　）

  A．相同的長軸長	B．相同的焦點
  C．相同的離心率	D．相同的頂點
  組卷：103引用：3難度：0.9

  解析

• 3．直線3x+4y=b與圓x²+y²-2x-2y+1=0相切，則b=（　　）

  A．-2或12

  B．2或-12

  C．-2或-12

  D．2或12
  組卷：3612引用：64難度：0.9

  解析

• 4．已知點A（1，3）、B（-2，-1），若過點P（2，1）的直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）

  A．k≥ 1 2

  B．k≤-2

  C．k ≥ 1 2 或k≤-2

  D．-2≤k≤ 1 2
  組卷：457引用：6難度：0.9

  解析

• 5．如圖所示，空間四邊形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，點M在OA上，且

  OM

  =

  2

  MA

  ，N為BC中點，則

  MN

  等于（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 2 3 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c
  組卷：240引用：25難度：0.7

  解析

• 6．設拋物線y²=2px上的三個點

  A

  （

  2

  3

  ，

  y

  1

  ）

  ，

  B

  （

  1

  ，

  y

  2

  ）

  ，

  C

  （

  3

  2

  ，

  y

  3

  ）

  到該拋物線的焦點距離分別為d₁，d₂，d₃．若d₁，d₂，d₃的最大值為3，則p的值為（　　）

  A． 3 2

  B．2

  C．3

  D． 14 3
  組卷：120引用：6難度：0.8

  解析

• 7．設F₁和F₂為雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的兩個焦點，若點P（0，2b），F₁，F₂是等腰直角三角形的三個頂點，則雙曲線的漸近線方程是（　　）

  A． y =± 3 x

  B． y =± 21 7 x

  C． y =± 3 3 x

  D． y =± 21 3 x
  組卷：195引用：8難度：0.7

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點

  M

  （

  2

  ，

  m

  ）

  到它的焦點的距離為

  2

  +

  1

  ．
  （1）求p的值．
  （2）過點N（-2，t）（t∈R）作曲線C的切線，切點分別為P，Q．求證：直線PQ過定點．
  組卷：64引用：2難度：0.4

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• 22．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1的左、右焦點分別為F₁，F₂，其離心率為

  6

  2

  ，且過點P（4

  2

  ，2

  2

  ）．
  （1）求雙曲線C的方程；
  （2）過F₁的兩條相互垂直的交雙曲線于A，B和C，D，M，N分別為AB，CD的中點，連接MN，過坐標原點O作MN的垂線，垂足為H，是否存在定點G，使得|GH|為定值，若存在，求此定點G．若不存在，請說明理由．
  組卷：179引用：2難度：0.3

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