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2022-2023學年河北省石家莊四十一中高二（上）第一次月考數學試卷

發布：2024/4/20 14:35:0

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1．對空間任意一點O，
OP
=
3
4
OA
+
1
8
OB
+
1
8
OC
，則P、A、B、C四點（　　）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷
組卷：382引用：10難度：0.9
解析
2．已知|
a
|=4，空間向量
e
為單位向量，＜
a
，
e
＞=
2
π
3
，則空間向量
a
在向量
e
方向上的投影的數量為（　　）
A．2 B．-2 C．-
1
2
D．
1
2
組卷：235引用：6難度：0.9
解析
3．如圖所示，空間四邊形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，點M在OA上，且
OM
=
2
MA
，N為BC中點，則
MN
等于（　　）
A．
1
2
a
-
2
3
b
+
1
2
c
B．
-
2
3
a
+
1
2
b
+
1
2
c
C．
1
2
a
+
1
2
b
-
2
3
c
D．
2
3
a
+
2
3
b
-
1
2
c
組卷：340引用：25難度：0.7
解析
4．已知向量
a
=（4，-2，6），
b
=（-2，1，x），則使
a
⊥
b
，
a
∥
b
成立的x分別為（　　）
A．
5
3
，-3 B．
10
3
，-3 C．
5
3
，3 D．
10
3
，3
組卷：481引用：6難度：0.8
解析
5．已知
i
，
j
，
k
是空間直角坐標系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且
OA
=
3
k
，
AB
=
-
i
+
j
-
k
，則點B的坐標為（　　）
A．（1，-1，1） B．（-1，1，1） C．（1，-1，2） D．（-1，1，2）
組卷：531引用：6難度：0.8
解析
6．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可以作為空間向量一個基底的是（　　）
A．
AB
，
AC
，
AD
B．
AB
，
A
A
1
，
A
B
1
C．
D
1
A
1
，
D
1
C
1
，
D
1
D
D．
A
C
1
，
A
1
C
，
C
C
1
組卷：871引用：13難度：0.8
解析
7．若平面α、β的法向量分別為
n
1
=（2，-3，5），
n
2
=（-3，1，-4），則（　　）
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正確
組卷：211引用：7難度：0.9
解析

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三、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

21．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為
2
．
（1）設側棱長為1，求證：AB₁⊥BC₁；
（2）設AB₁與BC₁的夾角為
π
3
，求側棱的長．
組卷：2144引用：17難度：0.3
解析
22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中點，PD⊥平面ABCD，PD=CD=4，AD=2．
（1）求直線AP與平面CMB所成的角的正弦值；
（2）求平面BCP的兩個法向量．
組卷：30引用：1難度：0.6
解析

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A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
C． 1 2 a + 1 2 b - 2 3 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c

A． AB ， AC ， AD	B． AB ， A A 1 ， A B 1
C． D 1 A 1 ， D 1 C 1 ， D 1 D	D． A C 1 ， A 1 C ， C C 1

A．α∥β	B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直	D．以上均不正確

2022-2023學年河北省石家莊四十一中高二（上）第一次月考數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1．對空間任意一點O，OP=34OA+18OB+18OC，則P、A、B、C四點（ ）

2．已知|a|=4，空間向量e為單位向量，＜a，e＞=2π3，則空間向量a在向量e方向上的投影的數量為（ ）

3．如圖所示，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點，則MN等于（ ）

4．已知向量a=（4，-2，6），b=（-2，1，x），則使a⊥b，a∥b成立的x分別為（ ）

5．已知i，j，k是空間直角坐標系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且OA=3k，AB=-i+j-k，則點B的坐標為（ ）

6．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，可以作為空間向量一個基底的是（ ）

7．若平面α、β的法向量分別為n1=（2，-3，5），n2=（-3，1，-4），則（ ）

三、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

21．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為2．（1）設側棱長為1，求證：AB1⊥BC1；（2）設AB1與BC1的夾角為π3，求側棱的長．

22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中點，PD⊥平面ABCD，PD=CD=4，AD=2．（1）求直線AP與平面CMB所成的角的正弦值；（2）求平面BCP的兩個法向量．

1．對空間任意一點O，
OP
=
3
4
OA
+
1
8
OB
+
1
8
OC
，則P、A、B、C四點（　　）

2．已知|
a
|=4，空間向量
e
為單位向量，＜
a
，
e
＞=
2
π
3
，則空間向量
a
在向量
e
方向上的投影的數量為（　　）

3．如圖所示，空間四邊形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，點M在OA上，且
OM
=
2
MA
，N為BC中點，則
MN
等于（　　）

4．已知向量
a
=（4，-2，6），
b
=（-2，1，x），則使
a
⊥
b
，
a
∥
b
成立的x分別為（　　）

5．已知
i
，
j
，
k
是空間直角坐標系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且
OA
=
3
k
，
AB
=
-
i
+
j
-
k
，則點B的坐標為（　　）

6．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可以作為空間向量一個基底的是（　　）

7．若平面α、β的法向量分別為
n
1
=（2，-3，5），
n
2
=（-3，1，-4），則（　　）

21．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為
2
．
（1）設側棱長為1，求證：AB₁⊥BC₁；
（2）設AB₁與BC₁的夾角為
π
3
，求側棱的長．

22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中點，PD⊥平面ABCD，PD=CD=4，AD=2．
（1）求直線AP與平面CMB所成的角的正弦值；
（2）求平面BCP的兩個法向量．