2022-2023學年上海市楊浦高級中學高一（下）期末數學試卷

一、填空題（本大題滿分40分）本大題共有10小題，考生必須在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。

• 1．直線

  3

  x

  -

  y

  +

  5

  =

  0

  的傾斜角是

  ．
  組卷：170引用：9難度：0.9

  解析

• 2．設i是虛數單位，則復數

  1

  -

  3

  i

  1

  +

  i

  的虛部為

   

  ．
  組卷：162引用：4難度：0.7

  解析

• 3．已知i為虛數單位，

  z

  =

  1

  +

  3

  i

  ，則z的輻角主值為

  ．
  組卷：46引用：1難度：0.9

  解析

• 4．在△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=5，則

  AB

  ?

  BC

  =

  ．
  組卷：67引用：2難度：0.8

  解析

• 5．已知|

  a

  |=2，|

  b

  |=3，且

  a

  、

  b

  的夾角為

  π

  3

  ，則|

  a

  -

  b

  |=

  ．
  組卷：98引用：2難度：0.9

  解析

• 6．已知向量

  a

  =

  （

  -

  2

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，則向量

  a

  ，

  b

  方向上的數量投影為

  ．
  組卷：46引用：1難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分44分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟。

• 18．如圖，在△ABC中，

  ∠

  BAC

  =

  π

  3

  ，D為AB中點，P為CD上一點，且滿足

  AP

  =

  t

  AC

  +

  1

  3

  AB

  ，△ABC的面積為

  3

  3

  2

  ，
  （1）求t的值；
  （2）求

  |

  AP

  |

  的最小值．
  組卷：358引用：3難度：0.5

  解析

• 19．已知點P和非零實數λ，若兩條不同的直線l₁、l₂均過點P，且斜率之積為λ，則稱直線l₁、l₂是一組“P_λ共軛線對”，如直線l₁：y=2x和

  l

  2

  ：

  y

  =

  -

  1

  2

  x

  是一組“O_-1共軛線對”，其中O是坐標原點．
  （1）已知l₁：x+y=0，且l₁、l₂是一組“O_-3共軛線對”，求l₁、l₂的夾角；
  （2）已知點A（0，1）、點B（-1，0）和點C（1，0）分別是三條直線PQ、QR、RP上的點（A、B、C與P、Q、R均不重合），且直線PR、PQ是“P₁共軛線對”，直線QP、QR是“Q₄共軛線對”，直線RP、RQ是“R₉共軛線對”，求點P的坐標；
  （3）已知直線l₁：mx+y+m+1=0過定點Q，直線l₁、l₂是“Q_-1共軛線對”，當實數m變化時，求原點O到直線l₁、l₂的距離之積的取值范圍．
  組卷：47引用：3難度：0.5

  解析