2022-2023學年陜西省西安市長安七中高二（下）期中數學試卷

一、選擇題。本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．函數f（x）=x³+1在區間[1，2]上的平均變化率為（　　）

  A．1

  B．2

  C．7

  D．9
  組卷：215引用：6難度：0.8

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• 2．已知復數z=（1-3i）（2+i），則z在復平面內對應的點位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：26引用：6難度：0.8

  解析

• 3．有一段演繹推理：“對數函數是單調函數，f（x）=log₂（-x）是對數函數，所以f（x）=log₂（-x）是單調函數”．對于以上推理說法正確的是（　　）

  A．大前提錯誤，但結論正確

  B．小前提錯誤，但結論正確

  C．推理形式錯誤，導致結論錯誤

  D．小前提錯誤，導致結論錯誤
  組卷：5引用：1難度：0.8

  解析

• 4．已知函數f（x）的導函數f'（x）的圖象如圖所示，則f（x）的極大值點為（　　）

  A．x1和x4

  B．x2

  C．x3

  D．x5
  組卷：195引用：8難度：0.7

  解析

• 5．i+i²+i³+?+i²⁰²³=（　　）

  A．-1

  B．-i

  C．0

  D．1
  組卷：13引用：1難度：0.8

  解析

• 6．已知函數f（x）=sin2x-x,則在下列區間上，f（x）單調遞增的是（　　）

  A． （ - π 3 ， 0 ）

  B． （ 0 ， π 6 ）

  C． （ π 6 ， π 3 ）

  D． （ π 3 ， π 2 ）
  組卷：69引用：7難度：0.6

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• 7．類比在數學中應用廣泛，數與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、有限與無限之間有不少結論，都是先用類比猜想，而后加以證明得出的．在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,則△ABC外接圓的半徑

  r

  =

  a

  2

  +

  b

  2

  2

  ，由此類比，在四面體ABCD中，三條側棱兩兩垂直，三條側棱長分別是a,b,c,則該四面體外接球的半徑為（　　）

  A． a 2 + b 2 + c 2 3

  B． a 2 + b 2 + c 2 2

  C． 3 a 3 + b 3 + c 3 3

  D． 3 a 2 + b 2 + c 2 3
  組卷：6引用：1難度：0.5

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三、解答題。本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．設數列{a_n}滿足a₁=5，2a_n+1=a_n+2n+7．
  （1）計算a₂，a₃，猜想{a_n}的通項公式并用數學歸納法加以證明；
  （2）若數列

  {

  1

  a

  n

  a

  n

  +

  1

  }

  的前n項和為T_n，證明：

  T

  n

  ＜

  1

  10

  ．
  組卷：33引用：1難度：0.5

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• 22．定義：若函數y=f（x）在定義域內存在實數x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）成立，其中k為大于0的常數，則稱點（x₀，k）為函數f（x）的k級“平移點”．
  （1）判斷函數g（x）=xln（x+1）的2級“平移點”的個數，并求出2級“平移點”；
  （2）若函數h（x）=ax²+xlnx在[1，+∞）上存在1級“平移點”，求實數a的取值范圍．
  組卷：33引用：5難度：0.4

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