2021-2022學年上海交大附中高三（上）期末數學試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．設z=（1+i）（1-2i）-3，則z的虛部為

  ．
  組卷：52引用：1難度：0.7

  解析

• 2．

  lim

  n

  →∞

  sinn

  n

  =

  ．
  組卷：66引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知cosx=

  3

  5

  ，x∈（-

  π

  2

  ，0），則

  sinx	co s 2 x
  1	sinx

  =

  ．
  組卷：31引用：5難度：0.9

  解析

• 4．

  （

  2

  x

  -

  1

  x

  ）

  7

  的二項展開式中，x項的系數是

  ．（用數字作答）
  組卷：102引用：4難度：0.7

  解析

• 5．已知圓錐的體積為

  3

  3

  π

  ，母線與底面所成角為

  π

  3

  ，則該圓錐的表面積為

  ．
  組卷：411引用：4難度：0.8

  解析

• 6．已知向量

  a

  ，

  b

  滿足

  |

  a

  |

  =

  2

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  2

  2

  ）

  ，

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  19

  ，則

  a

  ，

  b

  的夾角為

  ．
  組卷：77引用：3難度：0.8

  解析

• 7．若實數x,y滿足x≤y≤2x+3，則x+y的最小值為

  ．
  組卷：102引用：3難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共5題，滿分76分）

• 20．已知點F₁、F₂為雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （b＞0）的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，且∠MF₁F₂=30°，圓O的方程是x²+y²=b²．
  （1）求雙曲線C的方程；
  （2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P₁、P₂，求

  P

  P

  1

  ?

  P

  P

  2

  的值；
  （3）過圓O上任意一點Q作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點，AB中點為M，求證：|AB|=2|OM|．
  組卷：401引用：9難度：0.5

  解析

• 21．已知數列{a_n}為等差數列，公差為d,前n項和為S_n．
  （1）若a₁=0，d=2，求S₁₀₀的值；
  （2）若首項a₁=-1，{a_n}中恰有6項在區間

  （

  1

  2

  ，

  8

  ）

  內，求d的取值范圍；
  （3）若首項a₁=1，公差d=1，集合A={a_n|n∈N，n≥1}，是否存在一個新數列{b_n}，滿足①此新數列{b_n}不是常數列；②此新數列{b_n}中任意一項b_n∈A；③此新數列{b_n}從第二項開始，每一項都等于它的前一項和后一項的調和平均數．若能，請舉例說明；若不能，請說明理由．（注：數

  2

  1

  a

  +

  1

  b

  叫作數a和數b的調和平均數）．
  組卷：27引用：1難度：0.3

  解析