2023-2024學年上海交大附中高三（上）開學數學試卷

一.填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．已知集合A={1，4，5}，B={3，4}，則A∪B=

  ．
  組卷：110引用：3難度：0.9

  解析

• 2．3+4i的平方根是

  ．
  組卷：102引用：11難度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  與

  b

  的夾角是120°，|

  a

  |=3，|

  a

  +

  b

  |=

  13

  ，則|

  b

  |=

   

  ．
  組卷：432引用：17難度：0.7

  解析

• 4．設F₁和F₂是雙曲線

  x

  2

  4

  -y²=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F₁PF₂=90°，則△F₁PF₂的面積是

  ．
  組卷：876引用：28難度：0.9

  解析

• 5．記S_n為等差數列{a_n}的前n項和，已知S₄=0，a₅=10，則a_n+S_n=

  ．
  組卷：143引用：3難度：0.8

  解析

• 6．若

  sin

  （

  α

  +

  π

  6

  ）

  =

  1

  3

  ，則

  sin

  （

  2

  α

  +

  5

  π

  6

  ）

  =

  ．
  組卷：897引用：8難度：0.7

  解析

• 7．直線y=ax+b是曲線

  y

  =

  x

  +

  1

  的切線，則a+b的最小值為

  ．
  組卷：125引用：4難度：0.6

  解析

三.解答題（本大題共5題，滿分78分）

• 20．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  經過A（1，0），B（0，b）兩點．O為坐標原點，且△AOB的面積為

  2

  4

  ．過點P（0，1）且斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C有兩個不同的交點M，N，且直線AM，AN分別與y軸交于點S，T．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）求直線l的斜率k的取值范圍；
  （Ⅲ）設

  PS

  =

  λ

  PO

  ，

  PT

  =

  μ

  PO

  ，求λ+μ的取值范圍．
  組卷：409引用：6難度：0.6

  解析

• 21．已知函數f（x）=（2-a）lnx+

  1

  x

  +2ax（a≤0）．
  （Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
  （Ⅱ）當a＜0時，討論f（x）的單調性；
  （Ⅲ）若對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數m的取值范圍．
  組卷：905引用：36難度：0.1

  解析