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2021-2022學年福建省南平市建甌市芝華中學高二（上）期中數學試卷

發布：2024/9/27 9:0:1

一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1．若平面α⊥β，且平面α的一個法向量為
n
=（-2，1，?
1
2
），則平面β的法向量可以是（　　）
A．（1，?
1
2
，
1
4
） B．（2，-1，0） C．（1，2，0） D．（?
1
2
，1，2）
組卷：539引用：3難度：0.8
解析
2．已知雙曲線
x
2
m
-
y
2
m
+
6
=1（m＞0）的離心率為
5
，則其標準方程為（　　）
A．
x
2
2
-
y
2
4
=1 B．
x
2
4
-
y
2
8
=1 C．x²-
y
2
8
=1 D．
x
2
2
-
y
2
8
=1
組卷：52引用：2難度：0.7
解析
3．如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F（-2
5
，0）為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（　　）
A．
x
2
25
+
y
2
5
=1 B．
x
2
36
+
y
2
16
=1
C．
x
2
30
+
y
2
10
=1 D．
x
2
45
+
y
2
25
=1
組卷：774引用：17難度：0.9
解析
4．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別在棱BB₁和DD₁上，且BE=
1
3
B
B
1
，DF=
1
2
D
D
1
．若
EF
=
x
AB
+
y
AD
+
z
A
A
1
，則x+y+z=（　　）
A．-1 B．0 C．
1
3
D．
1
6
組卷：94引用：3難度：0.8
解析
5．兩條平行直線3x+4y-10=0與ax+8y+11=0之間的距離為（　　）
A．
31
5
B．
31
10
C．
23
5
D．
23
10
組卷：573引用：14難度：0.7
解析
6．給出下列命題：
①若{
a
，
b
，
c
}可以作為空間的一個基底，
d
與
c
共線，
d
≠0，則{
a
，
b
，
d
}也可作為空間的一個基底；
②已知向量
a
∥
b
，則
a
，
b
與任何向量都不能構成空間的一個基底；
③A，B，M，N是空間四點，若
BA
，
BM
，
BN
不能構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面；
④已知向量組{
a
，
b
，
c
}是空間的一個基底，若
m
=
a
+
c
，則{
a
，
b
，
m
}也是空間的一個基底．
其中正確命題的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
組卷：157引用：5難度：0.9
解析
7．已知雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，O為坐標原點．P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF₂分別交雙曲線C左、右支于另一點M，N．若|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=60°，則雙曲線C的漸近線方程為（　　）
A．y=±
2
2
x
B．y=
±
2
x
C．y=±2x D．y=
±
2
2
x
組卷：250引用：4難度：0.6
解析

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四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知F為拋物線y²=x的焦點，點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側，
OA
?
OB
=2（其中O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：直線AB恒過定點；
（Ⅱ）直線AB在繞著定點轉動的過程中，求弦AB中點M的軌跡方程．
組卷：310引用：4難度：0.5
解析
22．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點．
（i）無論直線l繞點F₂怎樣轉動，在x軸上總存在定點M（m,0），使MP⊥MQ恒成立，求實數m的值．
（ii）在（i）的條件下，求△MPQ面積的最小值．
組卷：1387引用：6難度：0.1
解析

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A． x 2 25 + y 2 5 =1	B． x 2 36 + y 2 16 =1
C． x 2 30 + y 2 10 =1	D． x 2 45 + y 2 25 =1

2021-2022學年福建省南平市建甌市芝華中學高二（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1．若平面α⊥β，且平面α的一個法向量為n=（-2，1，?12），則平面β的法向量可以是（ ）

2．已知雙曲線x2m-y2m+6=1（m＞0）的離心率為5，則其標準方程為（ ）

3．如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F（-25，0）為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（ ）

4．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別在棱BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=12DD1．若EF=xAB+yAD+zAA1，則x+y+z=（ ）

5．兩條平行直線3x+4y-10=0與ax+8y+11=0之間的距離為（ ）

7．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1的左、右焦點分別為F1、F2，O為坐標原點．P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF2分別交雙曲線C左、右支于另一點M，N．若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）

四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知F為拋物線y2=x的焦點，點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側，OA?OB=2（其中O為坐標原點）．（Ⅰ）求證：直線AB恒過定點；（Ⅱ）直線AB在繞著定點轉動的過程中，求弦AB中點M的軌跡方程．

1．若平面α⊥β，且平面α的一個法向量為
n
=（-2，1，?
1
2
），則平面β的法向量可以是（　　）

2．已知雙曲線
x
2
m
-
y
2
m
+
6
=1（m＞0）的離心率為
5
，則其標準方程為（　　）

3．如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F（-2
5
，0）為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（　　）

4．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別在棱BB₁和DD₁上，且BE=
1
3
B
B
1
，DF=
1
2
D
D
1
．若
EF
=
x
AB
+
y
AD
+
z
A
A
1
，則x+y+z=（　　）

5．兩條平行直線3x+4y-10=0與ax+8y+11=0之間的距離為（　　）

7．已知雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，O為坐標原點．P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF₂分別交雙曲線C左、右支于另一點M，N．若|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=60°，則雙曲線C的漸近線方程為（　　）

21．已知F為拋物線y²=x的焦點，點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側，
OA
?
OB
=2（其中O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：直線AB恒過定點；
（Ⅱ）直線AB在繞著定點轉動的過程中，求弦AB中點M的軌跡方程．