2021-2022學年上海市浦東新區南匯中學高三（下）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿分48分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．設i是虛數單位，a是實數，若（1+i）（1-ai）是實數，則a=

  ．
  組卷：17引用：6難度：0.7

  解析

• 2．若

  sin

  （

  π

  2

  +

  θ

  ）

  =

  3

  5

  ，則cos2θ=

  ．
  組卷：2335引用：58難度：0.7

  解析

• 3．函數y=lg（

  1

  x

  -1）的定義域是

  ．
  組卷：30引用：5難度：0.9

  解析

• 4．（理）冪函數f（x）的圖象過點

  （

  2

  ，

  2

  ）

  ，則f^-1（4）的值

  ．
  組卷：29引用：4難度：0.9

  解析

• 5．設x,y滿足約束條件

  y ≥ 0

  x - y ≥ 0

  x + y ≤ 2

  ，則z=2x-y的最大值為

  ．
  組卷：3引用：6難度：0.6

  解析

• 6．已知某圓錐體的底面半徑r=3，沿圓錐體的母線把側面展開后可得到圓心角為

  2

  π

  3

  的扇形，則該圓錐體的體積是

  ．
  組卷：191引用：5難度：0.7

  解析

• 7．若（1-2^x）⁹展開式中第3項是288，則

  lim

  n

  →∞

  （

  1

  x

  +

  1

  x

  2

  +

  …

  +

  1

  x

  n

  ）

  =

  ．
  組卷：44引用：9難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共5題，滿分82分）

• 20．已知橢圓

  x

  2

  8

  +

  y

  2

  4

  =1，F₁，F₂為左、右焦點，直線l過F₂交橢圓于A、B兩點．
  （1）若AB垂直于x軸時，求|AB|；
  （2）當∠F₁AF₂=90°時，A在x軸上方時，求A，B的坐標；
  （3）若直線AF₁交y軸于M，直線BF₁交y軸于N，是否存在直線l,使

  S

  △

  F

  1

  AB

  =

  S

  △

  F

  1

  MN

  ，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
  組卷：59引用：2難度：0.5

  解析

• 21．已知數列{a_n}的各項均為整數，其前n項和為S_n．規定：若數列{a_n}滿足前r項依次成公差為1的等差數列，從第r-1項起往后依次成公比為2的等比數列，則稱數列{a_n}為“r關聯數列”．
  （1）若數列{a_n}為“6關聯數列”，求數列{a_n}的通項公式；
  （2）在（1）的條件下，求出S_n，并證明：對任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
  （3）已知數列{a_n}為“r關聯數列”，且a₁=-10，是否存在正整數k,m（m＞k），使得a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=a₁+a₂+…+a_m-1+a_m？若存在，求出所有的k,m值；若不存在，請說明理由．
  組卷：232引用：4難度：0.1

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