2023-2024學年遼寧省沈陽市東北育才外國語學校高二（上）期中數學試卷

一、單選題（每題5分，共40分）

• 1．若橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  =

  1

  上一點P到橢圓一個焦點的距離為7，則P到另一個焦點的距離為（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：253引用：10難度：0.7

  解析

• 2．已知直線l：（m+2）x+（2m-1）y+2m-1=0，若直線l與圓C：（x-1）²+y²=4交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（　　）

  A． 2

  B．2

  C． 2 2

  D．4
  組卷：3引用：4難度：0.5

  解析

• 3．已知拋物線Γ：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F且斜率為k的直線l交拋物線于A，B兩點，若|AF|=3|BF|，則k=（　　）

  A． 3 3

  B． ± 3 3

  C． 3

  D． ± 3
  組卷：372引用：4難度：0.5

  解析

• 4．已知雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點F₁作與x軸垂直的直線與雙曲線的一個交點為P，且

  ∠

  P

  F

  2

  F

  1

  =

  π

  6

  ，則雙曲線的漸近線方程為（　　）

  A． y =± 3 x

  B． y =± 3 3 x

  C． y =± 2 x

  D． y =± 2 2 x
  組卷：160引用：2難度：0.6

  解析

• 5．已知直線l₁的一個方向向量a=（1，2，x），直線l₂的一個方向向量

  b

  =

  （

  5

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，若|a|=5，且l₁⊥l₂，則x+y=（　　）

  A． 5 2 或 - 3 5 2

  B． - 5 2 或 3 5 2

  C． - 5 2

  D． 5 2
  組卷：49引用：2難度：0.7

  解析

• 6．已知拋物線C：y²=-8x的焦點為F，動點M在C上，圓M的半徑為1，過點F的直線與圓M相切于點N，則

  FM

  ?

  FN

  的最小值為（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：147引用：4難度：0.7

  解析

• 7．在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），若直線l：y=kx+3上存在點M，使得|MA|=2|MO|，則k的取值范圍為（　　）

  A． [ - 3 ， 3 ]	B． （ - ∞ ，- 3 ] ∪ [ 3 ， + ∞ ）
  C． [ - 3 3 ， 3 3 ]	D． （ - ∞ ，- 3 3 ] ∪ [ 3 3 ， + ∞ ）
  組卷：100引用：4難度：0.7

  解析

四、解答題（共70分，17題10分，18-22每題12分，解答應寫出文字說明，證明過程及演算步驟）

• 21．已知點A（4，4），B（0，3），圓C的半徑為1．
  （1）若圓C的圓心坐標為C（3，2），過點A作圓C的切線，求此切線的方程；
  （2）若圓C的圓心C在直線l：y=x-1上，且圓C上存在點M，使|MB|=2|MO|，O為坐標原點，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．
  組卷：236引用：10難度：0.5

  解析

• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）經過點A（0，1），且右焦點為F（1，0）．
  （1）求C的標準方程；
  （2）過點（0，

  1

  2

  ）的直線l與橢圓C交于兩個不同的點P．Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N．證明：以MN為直徑的圓過y軸上的定點．
  組卷：197引用：2難度：0.6

  解析