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2013年4月全國100所名校單元測試示范卷數學（一）推理與證明

發布：2024/11/22 17:0:2

一.選擇題（每小題5分，共150分）

1．給出下列三個等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
f
（
x
+
y
）
=
f
（
x
）
+
f
（
y
）
1
-
f
（
x
）
f
（
y
）
．下列函數中不滿足其中任何一個等式的是（　　）
A．f（x）=3^x B．f（x）=sinx C．f（x）=log₂x D．f（x）=tanx
組卷：1181引用：19難度：0.9
解析
2．用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（　　）
A．假設三內角都不大于60度
B．假設三內角至多有一個大于60度
C．假設三內角都大于60度
D．假設三內角至多有兩個大于60度
組卷：129引用：13難度：0.9
解析
3．對于不等式
n
2
+
n
＜n+1（n∈N^*），某同學用數學歸納法的證明過程如下：
（1）當n=1時，
1
2
+
1
＜1+1，不等式成立．
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，不等式成立，即
k
2
+
k
＜k+1，則當n=k+1時，
（
k
+
1
）
2
+
（
k
+
1
）
=
k
2
+
3
k
+
2
＜
（
k
2
+
3
k
+
2
）
+
（
k
+
2
）
=
（
k
+
2
）
2
=（k+1）+1，∴當n=k+1時，不等式成立．
則上述證法（　　）
A．過程全部正確
B．n=1驗得不正確
C．歸納假設不正確
D．從n=k到n=k+1的推理不正確
組卷：222引用：31難度：0.9
解析
4．設a,b,c,d,m,n均為正實數，p=
ab
+
cd
，q=
ma
+
nc
?
b
m
+
d
n
，那么（　　）
A．p≤q
B．p≥q
C．p＜q
D．p、q之間的大小關系不定
組卷：53引用：1難度：0.9
解析
5．已知
2
+
2
3
=
2
2
3
，
3
+
3
8
=
3
3
8
，
4
+
4
15
=
4
4
15
，…，若
6
+
n
m
=
6
n
m
（m,n均為正實數），根據以上等式，可推測m,n的值，則m+n等于（　　）
A．40 B．41 C．42 D．43
組卷：34引用：2難度：0.7
解析
6．觀察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，則7²⁰¹¹的末兩位數字為（　　）
A．01 B．43 C．07 D．49
組卷：1005引用：26難度：0.7
解析
7．先閱讀下面的文字：“求
1
+
1
+
1
+
…
的值時，采用了如下方法：令
1
+
1
+
1
+
…
=x,則有x=
1
+
x
，兩邊同時平方，得1+x=x²，解得x=
1
+
5
2
（負值已舍去）”可用類比的方法，求得1+
1
2
+
1
1
+
1
2
+
…
的值等于（　　）
A．
3
-
1
2
B．
3
+
1
2
C．
1
-
3
2
D．
-
1
-
3
2
組卷：68引用：3難度：0.7
解析

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三.解答題（共6小題，共75分）

20．（1）如圖①、②、③、④為四個平面圖，數一數，每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？它們把平面分成了多少個區域？請將結果填入下表中：

頂點邊數區域數
①
②
③
④
（2）觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點數V，邊數E，區域數F之間有什么關系；
（3）現已知某個平面圖形有999個頂點，且圍成了999個區域，試根據以上關系確定這個平面圖形的邊數．
組卷：35引用：3難度：0.5
解析
21．（1）已知：a,b,x均為正數，且a＞b,求證：1＜
a
+
x
b
+
x
＜
a
b
；
（2）若a,b,x均為正數，且a＜b,對真分數
a
b
，給出類似于第（1）小問的結論；（不需證明）
（3）求證：△ABC中，
sin
A
sin
B
+
sin
C
+
sin
B
sin
C
+
sin
A
+
sin
C
sin
A
+
sin
B
＜2．
組卷：24引用：4難度：0.5
解析

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	頂點	邊數	區域數
①
②
③
④

2013年4月全國100所名校單元測試示范卷數學（一）推理與證明

一.選擇題（每小題5分，共150分）

1．給出下列三個等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y）1-f（x）f（y）．下列函數中不滿足其中任何一個等式的是（ ）

2．用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（ ）

4．設a,b,c,d,m,n均為正實數，p=ab+cd，q=ma+nc?bm+dn，那么（ ）

5．已知2+23=223，3+38=338，4+415=4415，…，若6+nm=6nm（m,n均為正實數），根據以上等式，可推測m,n的值，則m+n等于（ ）

6．觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72011的末兩位數字為（ ）

7．先閱讀下面的文字：“求1+1+1+…的值時，采用了如下方法：令1+1+1+…=x,則有x=1+x，兩邊同時平方，得1+x=x2，解得x=1+52（負值已舍去）”可用類比的方法，求得1+12+11+12+…的值等于（ ）

三.解答題（共6小題，共75分）

21．（1）已知：a,b,x均為正數，且a＞b,求證：1＜a+xb+x＜ab；（2）若a,b,x均為正數，且a＜b,對真分數ab，給出類似于第（1）小問的結論；（不需證明）（3）求證：△ABC中，sinAsinB+sinC+sinBsinC+sinA+sinCsinA+sinB＜2．

1．給出下列三個等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
f
（
x
+
y
）
=
f
（
x
）
+
f
（
y
）
1
-
f
（
x
）
f
（
y
）
．下列函數中不滿足其中任何一個等式的是（　　）

2．用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（　　）

4．設a,b,c,d,m,n均為正實數，p=
ab
+
cd
，q=
ma
+
nc
?
b
m
+
d
n
，那么（　　）

5．已知
2
+
2
3
=
2
2
3
，
3
+
3
8
=
3
3
8
，
4
+
4
15
=
4
4
15
，…，若
6
+
n
m
=
6
n
m
（m,n均為正實數），根據以上等式，可推測m,n的值，則m+n等于（　　）

6．觀察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，則7²⁰¹¹的末兩位數字為（　　）

7．先閱讀下面的文字：“求
1
+
1
+
1
+
…
的值時，采用了如下方法：令
1
+
1
+
1
+
…
=x,則有x=
1
+
x
，兩邊同時平方，得1+x=x²，解得x=
1
+
5
2
（負值已舍去）”可用類比的方法，求得1+
1
2
+
1
1
+
1
2
+
…
的值等于（　　）