2023年江蘇省南京市秦淮區中華中學、南京師大附中江寧分校兩校高考數學一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．復數

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  （i為虛數單位）的共軛復數的虛部等于（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  組卷：189引用：9難度：0.8

  解析

• 2．已知M，N為全集U的兩個不相等的非空子集，若（?_UN）?（?_UM），則下列結論正確的是（　　）

  A．?x∈N，x∈M

  B．?x∈M，x?N

  C．?x?N，x∈M

  D．?x∈M，x??UM
  組卷：180引用：3難度：0.8

  解析

• 3．過圓O：x²+y²=5外一點P（2，

  5

  ）作圓O的切線，切點分別為A，B，則|AB|=（　　）

  A．2

  B． 5

  C． 4 5 3

  D．3
  組卷：755引用：6難度：0.8

  解析

• 4．已知數列{a_n}是等比數列，（a₄+ma₇）?a₈=（a₆-a₉）²且公比q∈（1，2），則實數m的取值范圍為（　　）

  A．（1，9）

  B．（2，10）

  C．（1，8）

  D．（-1，6）
  組卷：276引用：4難度：0.6

  解析

• 5．某學校有6個數學興趣小組，每個小組都配備1位指導老師，現根據工作需要，學校準備將其中4位指導老師由原來的小組均相應的調整到其他興趣小組，其余的2位指導老師仍在原來的興趣小組（不作調整），如果調整后每個興趣小組仍配備1位指導老師，則不同的調整方案為（　　）

  A．135種

  B．360種

  C．90種

  D．270種
  組卷：416引用：4難度：0.6

  解析

• 6．正方形ABCD的四個頂點都在橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  上，若橢圓的焦點在正方形的內部，則橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

  A． （ 0 ， 5 - 1 2 ）

  B． （ 5 - 1 2 ， 1 ）

  C． （ 0 ， 3 - 1 2 ）

  D． （ 3 - 1 2 ， 1 ）
  組卷：437引用：3難度：0.6

  解析

• 7．已知函數

  y

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  -

  π

  3

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  圖象與函數

  y

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  +

  π

  6

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  圖象相鄰的三個交點依次為A，B，C，且△ABC是銳角三角形，則ω的取值范圍是（　　）

  A． （ 2 π 4 ， + ∞ ）

  B． （ π 4 ， + ∞ ）

  C． （ 0 ， π 4 ）

  D． （ 0 ， 2 π 4 ）
  組卷：248引用：3難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  0

  ＜

  a

  ＜

  3

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  2

  ．斜率為

  b

  a

  的直線m經過點M（3，0），點N是直線m與雙曲線E的交點，且

  |

  MN

  |

  =

  2

  ．
  （1）求雙曲線E的方程；
  （2）若經過定點P（1，1）的直線l與雙曲線E相交于A、B兩點，經過點A斜率為-2的直線與直線m的交點為T，求證：直線BT經過x軸上的定點．
  組卷：278引用：3難度：0.6

  解析

• 22．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  ax

  e

  x

  和函數

  g

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  ax

  有相同的最大值．
  （1）求a的值；
  （2）設集合A={x|f（x）=b}，B={x|g（x）=b}（b為常數）．
  ①證明：存在實數b,使得集合A∪B中有且僅有3個元素；
  ②設A∪B={x₁，x₂，x₃}，x₁＜x₂＜x₃，求證：x₁+x₃＞2x₂．
  組卷：163引用：5難度：0.2

  解析