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2023-2024學年廣東省廣州市真光中學高二（上）期中數學試卷

發布：2024/10/2 4:0:2

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1．已知A（1，1，1），B（3，3，3），O為坐標原點，求
OA
與
BO
的夾角（　　）
A．0 B．
π
2
C．π D．
3
π
4
組卷：36引用：3難度：0.9
解析
2．過點A（-6，2），B（2，-2）且圓心在直線x-y+1=0上的圓的方程是（　　）
A．（x-3）²+（y-2）²=25 B．（x+3）²+（y+2）²=5
C．（x-3）²+（y-2）²=5 D．（x+3）²+（y+2）²=25
組卷：884引用：7難度：0.8
解析
3．已知直線：l₁：y=ax+3與l₂關于直線y=x對稱，l₂與l₃：x+2y-1=0平行，則a=（　　）
A．
-
1
2
B．
1
2
C．-2 D．2
組卷：135引用：5難度：0.7
解析
4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，
A
A
1
=
c
．點M在棱BC上，且BM=2MC，N為AA₁的中點，若以
a
，
b
，
c
為基底，則
MN
=（　　）
A．
-
2
3
a
-
1
3
b
+
1
2
c
B．
2
3
a
-
1
3
b
+
1
2
c
C．
-
1
3
a
+
2
3
b
-
1
2
c
D．
-
1
3
a
-
2
3
b
+
1
2
c
組卷：46引用：4難度：0.7
解析
5．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁=2，則點C到直線AB₁的距離為（　　）
A．
14
B．
14
2
C．
14
3
D．
14
4
組卷：126引用：7難度：0.6
解析
6．已知直線l：λx-y-λ+1=0和圓C：x²+y²-4y=0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（　　）
A．2 B．
2
C．4 D．
2
2
組卷：235引用：4難度：0.6
解析
7．已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD的五個頂點在同一球面上，PD⊥BC，AB=4，
PC
=
2
，
PD
=
2
3
，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為（　　）
A．32π B．
8
2
π
3
C．36π D．24π
組卷：122引用：3難度：0.5
解析

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四、解答題（本題共6小題，共70分）

21．如圖1，等腰梯形AECD是由三個全等的等邊三角形拼成，現將△BCE沿BC翻折至△BCP，使得
PD
=
3
2
AB
，如圖2所示．

（1）求證：PD⊥BC；
（2）在直線PD上是否存在點M，使得直線BM與平面APD所成角的余弦值為
10
4
？若存在，求出
PM
DM
的值；若不存在，說明理由．
組卷：198引用：5難度：0.3
解析
22．在平面直角坐標系xOy中，已知原點O和點P（1，1），圓
C
：
（
x
-
3
2
）
2
+
（
y
+
1
2
）
2
=
5
2

（1）求圓C在x軸上截得的線段長度．
（2）若M，N為圓C上兩點，若四邊形MONP的對角線MN的方程為x+2y+m=0，求四邊形MONP面積的最大值；
（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B兩點，若直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=0，試判斷直線AB的斜率是否為定值，并說明理由．
組卷：48引用：3難度：0.5
解析

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A．（x-3）²+（y-2）²=25	B．（x+3）²+（y+2）²=5
C．（x-3）²+（y-2）²=5	D．（x+3）²+（y+2）²=25

A． - 2 3 a - 1 3 b + 1 2 c	B． 2 3 a - 1 3 b + 1 2 c
C． - 1 3 a + 2 3 b - 1 2 c	D． - 1 3 a - 2 3 b + 1 2 c

2023-2024學年廣東省廣州市真光中學高二（上）期中數學試卷

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1．已知A（1，1，1），B（3，3，3），O為坐標原點，求OA與BO的夾角（ ）

2．過點A（-6，2），B（2，-2）且圓心在直線x-y+1=0上的圓的方程是（ ）

3．已知直線：l1：y=ax+3與l2關于直線y=x對稱，l2與l3：x+2y-1=0平行，則a=（ ）

4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c．點M在棱BC上，且BM=2MC，N為AA1的中點，若以a，b，c為基底，則MN=（ ）

5．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1=2，則點C到直線AB1的距離為（ ）

6．已知直線l：λx-y-λ+1=0和圓C：x2+y2-4y=0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（ ）

7．已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD的五個頂點在同一球面上，PD⊥BC，AB=4，PC=2，PD=23，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為（ ）

四、解答題（本題共6小題，共70分）

1．已知A（1，1，1），B（3，3，3），O為坐標原點，求
OA
與
BO
的夾角（　　）

2．過點A（-6，2），B（2，-2）且圓心在直線x-y+1=0上的圓的方程是（　　）

3．已知直線：l₁：y=ax+3與l₂關于直線y=x對稱，l₂與l₃：x+2y-1=0平行，則a=（　　）

4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，
A
A
1
=
c
．點M在棱BC上，且BM=2MC，N為AA₁的中點，若以
a
，
b
，
c
為基底，則
MN
=（　　）

5．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁=2，則點C到直線AB₁的距離為（　　）

6．已知直線l：λx-y-λ+1=0和圓C：x²+y²-4y=0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（　　）

7．已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD的五個頂點在同一球面上，PD⊥BC，AB=4，
PC
=
2
，
PD
=
2
3
，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積為（　　）