2023-2024學年天津四十七中高二（上）第一次月考數學試卷（10月份）

一、選擇題：（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.本大題共9個小題，每題5分，共45分.）

• 1．直線x+

  3

  y-8

  3

  =0的傾斜角為（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  組卷：242引用：7難度：0.8

  解析

• 2．“a=-3”是直線l₁：ax+（1-a）y=3與l₂：（a-1）x+（2a+3）y=2互相垂直的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：94引用：1難度：0.5

  解析

• 3．設x,y∈R，向量

  a

  =（x,1，1），

  b

  =（1，y,1），

  c

  =（2，-4，2），且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，則|2

  a

  +

  b

  |=（　　）

  A．2 2

  B．3 2

  C．3

  D． 10
  組卷：293引用：11難度：0.8

  解析

• 4．圓x²-4x+y²=0與圓x²+y²+4x+3=0的公切線共有（　　）

  A．1條

  B．2條

  C．3條

  D．4條
  組卷：782引用：9難度：0.8

  解析

• 5．已知M是圓C：x²+y²=1上的動點，點N（2，0），則MN的中點P的軌跡方程是（　　）

  A．（x-1）2+y2= 1 4	B．（x-1）2+y2= 1 2
  C．（x+1）2+y2= 1 2	D．D、（x+1）2+y2= 1 4
  組卷：118引用：4難度：0.9

  解析

• 6．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長均為2，則異面直線A₁B與B₁C角的余弦值是（　　）

  A． 3 2

  B． 1 2

  C． 1 4

  D．0
  組卷：574引用：16難度：0.7

  解析

三、解答題.（本大題共5小題，共75分）解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

• 19．如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四邊形EDCF為矩形，CF=

  3

  ，平面EDCF⊥平面ABCD．
  （Ⅰ）求證：DF∥平面ABE；
  （Ⅱ）求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值．
  （Ⅲ）在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為

  3

  4

  ？若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由．
  組卷：3234引用：18難度：0.1

  解析

• 20．已知圓M與直線3x-

  7

  y+4=0相切于點

  （

  1

  ，

  7

  ）

  ，圓心M在x軸上．
  （1）求圓M的標準方程；
  （2）若直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）與圓M交于P，Q兩點，求弦PQ的最短長度．
  （3）過點M且不與x軸重合的直線與圓M相交于A，B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB分別與直線x=8相交于C，D兩點，記△OAB，△OCD的面積為S₁，S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的最大值．
  組卷：242引用：8難度：0.5

  解析